图本章知识地图 + 山西中考考情
本章知识结构（一张图看懂）：
统计 ┬─ 数据收集：普查 vs 抽样调查（样本要有代表性）
├─ 数据整理：频数分布表 → 频数分布直方图
├─ 数据代表：平均数（易受极端值影响）、中位数（抗极端值）、众数
├─ 数据波动：方差（越大越不稳定）
└─ 样本估计总体：总体 × 样本百分比
概率 ┬─ 古典概型：P(A) = m/n（m 种符合结果 ÷ n 种等可能结果）
├─ 两步试验：列表法 / 树状图（分清"放回"与"不放回"）
└─ 频率估计概率：大量重复试验，频率稳定值 ≈ 概率
贯穿思想：用样本估计总体——我们永远看不到全部，只能通过一部分推测整体。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 统计大题（补全统计图+计算） | 每年必考 | 解答题第 18 题，8 分 | ★★（必须满分） |
| 两步概率（列表法/树状图） | 每年必考 | 解答题第 19 题，7 分 | ★★（必须满分） |
| 三数计算与选择 | 高频 | 选择或填空，3 分 | ★（送分） |
| 方差与稳定性判断 | 中频 | 选择题，3 分 | ★★ |
| 普查 vs 抽样调查判别 | 低频 | 选择题，3 分 | ★（送分） |
| 用频率估计概率 | 中频 | 填空或统计大题一问，3 分 | ★★ |
给中等生的话：这章 15 分里，前 11 分（三数 + 统计大题 + 概率题）全是步骤固定的题——只要你会"补全条形图/扇形图"、会列表或画树状图，谁都拿得到。真正容易丢分的是两个地方：①概率题把"不放回"当成"放回"；②统计大题算完百分比忘记乘总体人数。你的策略是：把统计大题的解题流程练成肌肉记忆，概率题动笔前先圈"放回/不放回"。
1数据收集：普查与抽样调查
知识点 1.1 什么时候普查，什么时候抽样
讲透本源：
普查就是对总体中每一个个体都进行调查（如全国人口普查）。优点是准确，缺点是费时费力，而且有些调查不能普查——比如检测灯泡寿命，把每个灯泡都点亮测到坏，灯泡就全废了。
抽样调查就是从总体中抽一部分（样本）来调查，用样本估计总体。优点是快、省成本，缺点是有误差。
关键：样本要有代表性。如果只在重点中学抽学生成绩，就不能代表全市初中生的水平——这叫样本偏差。
判断口诀：
① 调查对象少、不破坏 → 普查（如一个班的视力检查）；
② 调查对象多、有破坏性 → 抽样（如一批炮弹的射程检测）；
③ 要求非常精确（如人口、经济总量）→ 普查。
想一想：检测一批袋装牛奶是否合格，应该普查还是抽样？（抽样——逐袋拆开检测，牛奶就卖不出去了。）那调查你们班同学的身高呢？（普查——人数少，量一下就行。）
【例 1.1】下列调查中，适合采用普查的是（ ）。
A. 了解一批灯泡的使用寿命 B. 了解某班学生的身高情况
C. 了解一批炮弹的杀伤半径 D. 了解全国初中生的视力情况
A 灯泡寿命：有破坏性 → 抽样。
B 某班学生身高：人数少、不破坏 → 普查 ✓。
C 炮弹杀伤半径：有破坏性 → 抽样。
D 全国初中生：人数太多 → 抽样。
答案 B。
采分点提醒：山西中考选择题常考"下列适合普查的是"。记住：涉及"一批产品质量检测""寿命检测""破坏性试验"的一律抽样；"一个班""一个学校"小范围的精确调查才用普查。
2三数：平均数、中位数、众数
知识点 2.1 三个数分别反映什么
讲透本源：
平均数 = 所有数据之和 ÷ 数据个数。它反映的是一组数据的"总体平均水平"。但它有个致命弱点：容易受极端值影响——比如 5 个人工资 3000、3500、4000、4500、50000，平均数是 13000，但这不能代表"普通人"的工资。
中位数 = 把数据从小到大排序后，正中间的那个数（偶数个取中间两个的平均）。它反映的是"中等水平"，不受极端值影响——上面那组数据的中位数是 4000，就很真实。
众数 = 出现次数最多的那个数。它反映的是"最普遍的情况"。
平均数：x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
中位数：先排序，再找中间位置（奇数个取第 (n+1)/2 个；偶数个取第 n/2 和 n/2+1 个的平均）
众数：出现次数最多的数（可以不止一个，也可以没有）。
想一想：要反映"咱们班同学的中等身高"，用平均数还是中位数？（中位数——它不受一两个特别高或特别矮的同学影响。）那要算"全班平均每天花多少零花钱"呢？（平均数——零花钱没有特别极端的，平均数合适。）
【例 2.1】数据：85, 90, 90, 75, 95, 90, 85, 90。求平均数、中位数、众数。
平均数：总和 = 85+90+90+75+95+90+85+90 = 700；700 ÷ 8 = 87.5。
中位数：先排序：75, 85, 85, 90, 90, 90, 90, 95。共 8 个（偶数），取第 4、5 个的平均：(90+90)/2 = 90。
众数：90 出现 4 次最多 → 90。
中等生最容易犯的错：求中位数忘记先排序！直接拿原数据正中间的数，结果排错位置。
破法：求中位数第一步永远是"从小到大排序"，排完再找中间。
【变式 2.1·极端值】某公司 5 人月薪：4000、4500、5000、5500、50000。求平均数和中位数，哪个更能代表普通员工的工资？
平均数 = (4000+4500+5000+5500+50000)/5 = 69000/5 = 13800。
中位数 = 排序后正中间的第 3 个 = 5000。
5000 是老板工资，把平均数拉到 13800，但普通员工实际工资是 4000–5500。中位数 5000 才真实。
结论：当数据中有极端大值或极端小值时，中位数比平均数更能代表一般水平。
采分点提醒：山西中考统计大题常考"根据扇形图/条形图求平均数或众数"。先从图里读出每类人数，再计算。众数看条形最高那根；平均数用"加权平均"：每类分数 × 该类人数，加起来再除以总人数。
3方差——为什么越大越不稳定
知识点 3.1 方差的本质：离平均数有多散
讲透本源：方差是这样算的——对每个数据，先算它和平均数的差，把这个差平方（保证是正数），然后把所有平方加起来除以数据个数。
方差衡量的是数据偏离平均数的程度：
方差小 = 数据都挤在平均数附近 = 稳定；
方差大 = 数据东一个西一个很散 = 不稳定。
为什么要平方？因为有的数据比平均数大（差为正），有的比平均数小（差为负），直接加起来会正负抵消。平方之后全变正数，才能真正反映"散开的程度"。
方差公式：s² = [(x₁−x̄)² + (x₂−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²] / n
结论：方差越小，数据越稳定；方差越大，波动越大。
想一想：两个射击运动员平均成绩都是 9 环，甲方差 0.5、乙方差 3.2，比赛时派谁上？（派甲——平均一样，但甲发挥稳定，不会突然打出 7 环。）那如果要冲击金牌、不怕失手呢？（派乙——他偶尔能打出 10 环，但不稳定。）
【例 3.1】甲、乙两人 5 次射击成绩（环）：
甲：8, 9, 9, 10, 9 乙：7, 10, 9, 8, 11
谁的成绩更稳定？
先算平均数：甲 = (8+9+9+10+9)/5 = 45/5 = 9；乙 = (7+10+9+8+11)/5 = 45/5 = 9。
平均数相同，比方差。
甲方差 = [(8−9)²+(9−9)²+(9−9)²+(10−9)²+(9−9)²]/5 = (1+0+0+1+0)/5 = 0.4。
乙方差 = [(7−9)²+(10−9)²+(9−9)²+(8−9)²+(11−9)²]/5 = (4+1+0+1+4)/5 = 2。
甲方差 0.4 < 乙方差 2 → 甲更稳定。
中等生最容易犯的错：把"方差大"和"成绩好"画等号！看到乙方差大，以为"乙发挥得更好"。错！方差大只代表波动大，不代表水平高。
破法：先比平均数（谁水平高），平均数相同再比方差（谁更稳定）。
采分点提醒：山西中考选择题常考"甲乙两人平均成绩相同，甲方差小乙方差大，选谁参赛"。答案永远是方差小的（稳定的）。
4频数分布直方图——怎么读、怎么补全
知识点 4.1 直方图和条形图有什么区别
讲透本源：频数分布直方图用长方形的高度表示每组数据的个数（频数）。它和条形图的区别：
① 直方图的横轴是连续的区间（如 0–10、10–20、20–30），长方形之间没有空隙；
② 条形图的横轴是分类（如语文、数学、英语），条形之间有空隙。
补全直方图的关键：总人数 = 已知各组频数之和 + 未知组频数。先算总人数（从扇形图百分比倒推），再减已知的，就是未知的。
核心公式：
某组频数 = 总数 × 该组百分比
某组百分比 = 该组频数 ÷ 总数 × 100%
扇形图圆心角 = 该组百分比 × 360°
想一想：扇形图里"优秀"占 30%，对应圆心角是多少度？（30% × 360° = 108°。）
2024 山西中考 第 18 题统计大题（8 分）——山西旅游景点游客统计
题目：某市统计了"五一"期间 1000 名游客在各景点的到访情况，部分数据如下：
平遥古城：400 人；五台山：？人；云冈石窟：250 人；乔家大院：150 人；其他：？人。
已知五台山游客占总人数的 20%。
第（1）问：求五台山游客人数和"其他"游客人数。
五台山 = 1000 × 20% = 200 人。
其他 = 1000 − 400 − 200 − 250 − 150 = 0 人。（说明题目可能把"其他"并入某类，实际考试会给扇形图补全。）
第（2）问：求平遥古城游客占比。
400 ÷ 1000 = 40%。
第（3）问：若该地区"五一"共接待游客 20 万人次，估计去平遥古城的游客有多少？
20 万 × 40% = 8 万人次。
采分点：每问 2–3 分。补全条形图要画到正确高度；最后一问"估计总体"用样本百分比乘总体数。
中等生最容易犯的错：算完百分比就直接写答案，忘记最后一问要乘总体数量。题目问"全市约有多少人"，你写"占 40%"——这是比例不是人数！
破法：看清楚题目问的是"占比"还是"人数"。问人数就乘总体，问占比就只算百分比。
5概率——古典概型、列表法与树状图
知识点 5.1 古典概型：P(A) = m/n
讲透本源：如果一次试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中 m 种结果，那 P(A) = m/n。
关键前提：等可能。掷硬币正反面概率各 1/2，因为正反两种结果等可能；掷骰子每个面朝上概率各 1/6。但如果硬币是不均匀的，就不是古典概型了。
P(A) = 事件 A 包含的结果数 m ÷ 所有等可能结果数 n
0 ≤ P(A) ≤ 1；必然事件 P=1，不可能事件 P=0。
想一想：掷一枚骰子，掷出偶数点的概率是多少？（偶数点有 2、4、6 共 3 种，总 6 种，P = 3/6 = 1/2。）
知识点 5.2 两步试验：列表法 vs 树状图
讲透：一步试验（掷一枚骰子）直接数结果。两步试验（摸两次球、掷两枚硬币、抽两张卡片）就需要不重不漏地列出所有结果。
列表法适合两步试验，把第一次结果放表头、第二次结果放侧表头，交叉点就是组合。
树状图适合三步或更多步，从左到右分叉，每个终点是一种结果。
最重要的区别：放回 vs 不放回！
中等生最容易犯的错：把"不放回"当成"放回"！题目说"摸出一个球不放回，再摸一个"，第二次摸的时候总数已经少了一个。
破法：动笔前先在题目上圈出"放回"还是"不放回"。不放回时，第二次总数 = 第一次总数 − 1。
2023 山西中考 第 19 题概率解答题（7 分）
题目：袋中有 2 个红球、1 个白球，除颜色外完全相同。
（1）随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
（2）随机摸出一个球后
不放回，再摸一个球，用列表或树状图求两次都摸到红球的概率。
第（1）问：共 3 个球，红球 2 个，P(红球) =
2/3。
第（2）问：设红球为 R₁、R₂，白球为 W。
列表法：
| R₁ | R₂ | W |
|---|
| R₁ | — | (R₁,R₂) | (R₁,W) |
| R₂ | (R₂,R₁) | — | (R₂,W) |
| W | (W,R₁) | (W,R₂) | — |
共 6 种等可能结果（对角线划掉，因为不放回不能摸同一个球）。
两次都红球：(R₁,R₂) 和 (R₂,R₁) 共 2 种。
P(两次都红) = 2/6 =
1/3。
采分点：列表或树状图 4 分（列全结果），答案 2 分，写"共有 6 种等可能结果"1 分。不写"等可能"三个字扣 1 分。【变式 5.1·放回】上题改成"摸出一个球放回，再摸一个"，求两次都红球的概率。
放回时，第二次还是 3 个球，总结果 = 3×3 = 9 种。
两次都红球：第一次红（2 种）× 第二次红（2 种）= 4 种。
P = 4/9。
★ 对比：不放回是 1/3 = 3/9，放回是 4/9。放回概率更大（因为第二次红球还在袋里）。
知识点 5.3 用频率估计概率
讲透本源：有些试验结果不是等可能的（比如投篮命中率），没法用 m/n 算概率。这时就靠大量重复试验——试验次数越多，频率会越来越稳定在某个数值附近，这个稳定值就可以估计为概率。
比如：掷硬币 10000 次，正面朝上 4980 次，频率 0.498，就可以估计正面概率约为 0.5。
频率 = 事件发生次数 ÷ 试验总次数
当试验次数很大时，频率 ≈ 概率。
想一想：一个射手射了 100 次，命中 85 次，估计他命中概率是多少？（0.85。但只射了 10 次命中 9 次，不能说概率就是 0.9——试验次数太少。）
技做题技巧专题
技巧 ①：统计大题——先算总人数
拿到一道"给你一张不完整统计图"的统计大题，第一件事永远是算总人数。怎么算？从扇形图找一个"知道人数又知道百分比"的组，人数 ÷ 百分比 = 总人数。算出总人数后，其他未知组的人数就都能算了。
技巧 ②：概率题——动笔前圈"放回/不放回"
这是概率题最大的陷阱。题目说"不放回"，你按"放回"列，整个结果数就错了。拿到题先在题干上画圈写"不放回！"，提醒自己第二次总数要减 1。
技巧 ③：中位数——先排序再找中间
求中位数永远两步：第一步从小到大排序，第二步找中间位置。数据个数是奇数就取正中间那个；是偶数就取中间两个的平均。不排序直接找中间，100% 错。
技巧 ④：补全统计图——用"总数 × 百分比"
补全条形图：未知组高度 = 总人数 × 该组百分比。补全扇形图：未知组百分比 = 100% − 已知各组百分比之和。补全频数分布直方图同理。
技巧 ⑤：选择参赛选手——先比平均再比方差
"选谁参赛"两步走：先看平均数（谁水平高），平均数相同再看方差（谁稳定）。平均数不同直接选平均数高的；平均数相同选方差小的。
经验级总结：这章丢分最多的三个地方：①概率题放回/不放回搞混；②统计大题最后一问忘记乘总体；③中位数忘排序。考试前念一遍"圈放回排序乘总体"，能白捡 4–6 分。
真山西中考真题精讲（近 3 年精选）
2024 山西中考 第 18 题统计大题（8 分）
题目：见第 4 章例 4.1（山西旅游景点游客统计）。
答案：（1）五台山 200 人；（2）平遥古城占 40%；（3）估计 8 万人次。
★ 山西特色：统计大题喜欢套"山西文旅""煤炭产量""脱贫户收入"等本土情境。但外壳不重要，剥掉就是"总人数 × 百分比"。
2023 山西中考 第 19 题概率解答题（7 分）
题目：见第 5 章例 5.2（袋中 2 红 1 白，不放回摸两次）。
答案：P(两次都红) = 1/3。
★ 评分点：列表/树状图列全 4 分，写"共 6 种等可能结果"1 分，答案 2 分。不写"等可能"扣 1 分。
2022 山西中考 第 4 题方差与稳定性选择（3 分）
题目：甲乙两名射击运动员平均成绩相同，甲方差为 0.6，乙方差为 1.8。大赛应选谁参赛？
答案：甲（方差小，发挥稳定）。
模拟普查与抽样判别
题目：下列调查适合普查的是（ ）。
A. 检测一批 LED 灯的寿命 B. 了解某班 50 名同学的体重
C. 了解全国初中生的课外阅读时间 D. 检测一批地雷的引爆成功率
答案：B。A、D 有破坏性要抽样；C 范围太大要抽样；B 人数少不破坏可普查。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. 数据：3, 5, 5, 7, 10。求平均数、中位数、众数。
2. 下列调查适合普查还是抽样？了解一批袋装食品的合格率。
3. 掷一枚均匀骰子，掷出点数大于 4 的概率是多少？
4. 甲方差 1.2、乙方差 3.5，平均成绩相同，选谁参赛？
5. 扇形图中某组占 25%，对应圆心角是多少度？
6. 从 3 个男生、2 个女生中随机选 1 人当组长，选到女生的概率是多少？
提高中档题主战场（4 题）
7. 数据：2, 4, 4, 6, 8, 10。求中位数和众数。
8. 袋中有 3 红 2 白共 5 个球，不放回摸两次，求两次都摸到红球的概率（用列表法）。
9. 某班 40 名学生数学成绩：优秀 10 人、良好 20 人、及格 10 人。求扇形图中"良好"对应的圆心角。
10. 某校 2000 名学生中，随机抽查 100 人有 15 人近视。估计全校近视人数约多少？
冲刺冲高分（2 题）
11. 某厂统计 200 名工人日加工零件数，部分数据如下：50–60 件 20 人、60–70 件 40 人、70–80 件 80 人、80–90 件 ? 人、90–100 件 30 人。
（1）求 80–90 件的人数；（2）求日加工零件数在 70 件以上的工人占比；（3）若全厂 1000 名工人，估计日加工 70 件以上的约多少人？
12. 甲、乙两人玩"石头剪刀布"游戏，每局两人随机出石头、剪刀、布之一。
（1）一局中甲获胜的概率是多少？（2）用树状图求两局中甲至少胜一局的概率。
答练习答案与详解
1. 平均数 6，中位数 5，众数 5。和=30，30/5=6；已排序中间第 3 个=5；5 出现 2 次最多。
2. 抽样调查。袋装食品合格率检测有破坏性（拆开包装），不能普查。
3. 1/3。大于 4 的点数有 5、6 共 2 种，P = 2/6 = 1/3。
4. 选甲。甲方差小，发挥更稳定。
5. 90°。25% × 360° = 90°。
6. 2/5。共 5 人，女生 2 人。
7. 中位数 5，众数 4。偶数个取中间两数 4、6 的平均 = 5；4 出现 2 次最多。
8. 3/10。不放回：总结果 5×4 = 20 种；两次都红：3×2 = 6 种；P = 6/20 = 3/10。
9. 180°。良好占 20/40 = 50%，50% × 360° = 180°。
10. 300 人。样本近视率 = 15/100 = 15%；全校 = 2000 × 15% = 300 人。
11.（1）30 人；（2）70%；（3）700 人。
（1）80–90 件 = 200 − 20 − 40 − 80 − 30 = 30 人。
（2）70 件以上 = (80+30+30)/200 = 140/200 = 70%。
（3）1000 × 70% = 700 人。
12.（1）1/3；（2）5/9。
（1）一局共 3×3 = 9 种结果，甲胜的有 3 种（石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头），P = 3/9 = 1/3。
（2）两局共 9×9 = 81 种。"至少胜一局"的反面是"两局都没胜"：每局不胜 = 1−1/3 = 2/3，两局都不胜 = (2/3)² = 4/9。所以至少胜一局 = 1 − 4/9 = 5/9。
★ 本题是压轴技巧："至少"问题用反面算更快——1 减去"全都不发生"的概率。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① 普查 vs 抽样：小范围、不破坏用普查；大范围、有破坏用抽样；样本要有代表性；
② 平均数易受极端值影响，中位数抗极端值，众数反映最普遍；求中位数必须先排序；
③ 方差 = 每个数据与平均数差的平方的平均；方差越小越稳定；
④ 统计大题第一步算总人数（人数 ÷ 百分比），补全条形图用"总数 × 百分比"；
⑤ 古典概型 P(A) = m/n；两步试验用列表法或树状图；
⑥ 动笔前先圈"放回/不放回"——不放回第二次总数减 1；
⑦ 大量重复试验中，频率稳定值 ≈ 概率；
⑧ "至少发生一次"用反面算：1 − (不发生的概率)ⁿ。
合上书写一遍——能答上才算真会
- 什么时候用普查，什么时候用抽样调查？
- 平均数和中位数，哪个更能代表"中等水平"？为什么？
- 求中位数的第一步是什么？偶数个数据怎么取？
- 方差为什么越大越不稳定？平方是为了什么？
- 统计大题第一步先算什么？怎么算？
- 扇形图圆心角怎么算？
- 古典概型 P(A) = m/n 的前提条件是什么？
- 放回和不放回，第二次摸球总数差几个？
- 用频率估计概率需要什么条件？
- "至少发生一次"的概率怎么算最快？