图本章知识地图 + 山西中考考情
本章知识结构（一张图看懂）：
图形变换 ┬─ 平移：沿方向移动一段距离 → 对应点连线平行且相等
├─ 轴对称：沿直线对折重合 → 对应点连线被对称轴垂直平分
├─ 旋转：绕定点转角度（三要素：中心、方向、角度）→ 前后全等
├─ 中心对称：旋转 180° 的特例 → 关于原点对称 (x,y)→(−x,−y)
└─ 位似：对应点连线交于一点 → 放大/缩小，位似比
投影与视图 ┬─ 平行投影（太阳光）：影子方向一致
├─ 中心投影（路灯、皮影）：影子从一点发散
└─ 三视图：主视图、左视图、俯视图（长对正、高平齐、宽相等）
贯穿思想：刚体运动——平移、轴对称、旋转都不改变图形的形状和大小，只改变位置；位似才改变大小。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 轴对称/中心对称图形判别 | 每年必考 | 选择题第 2–4 题，3 分 | ★（送分） |
| 网格中的平移/旋转作图 | 高频 | 解答题第 16 题，7 分 | ★★（必须全拿） |
| 坐标变换（平移/对称后求坐标） | 高频 | 填空或作图题，3–4 分 | ★★ |
| 三视图判断/数小正方体 | 中频 | 选择题，3 分 | ★★ |
| 位似图形与位似比 | 中频（隔年考） | 填空，3 分 | ★★★ |
| 平行投影/中心投影（影子计算） | 低频 | 选择或填空，3 分 | ★★ |
给中等生的话：这章 13 分里，选择题 3 分 + 网格作图 7 分是白送的——只要你会在方格纸上数格子、会标对应点，谁都拿得到。真正容易丢分的是两个地方：①把"轴对称"和"中心对称"搞混；②网格作图时旋转方向画反（顺时针画成逆时针）。这一章你的策略是：把判别表背熟，把作图步骤练成肌肉记忆。
1平移——为什么对应点连线平行且相等
知识点 1.1 平移是一种"刚体运动"
讲透本源：平移就是把整个图形沿同一个方向、移动同样的距离。想象你把一张三角形贴纸在桌面上水平向右推——贴纸的每个顶点都向右走了同样远，贴纸本身没有转动、没有拉伸。
因为每个点移动的方向相同、距离相同，所以任意一组对应点连起来的线段：
① 互相平行（方向一样）；② 长度相等（距离一样）。
这就是"对应点连线平行且相等"这句话的来历——它不是老师让你死记的结论，是平移定义的直接推论。
坐标变化规则：点 (a, b) 向右平移 m 个单位、向上平移 n 个单位，得到 (a+m, b+n)。
口诀：左右移动改横坐标（右加左减），上下移动改纵坐标（上加下减）。
想一想：把一个三角形向右平移 3 格，三角形的内角会变吗？它的周长会变吗？（都不变——平移是刚体运动，形状大小完全不变，只改位置。）
【例 1.1】点 A(2, 3) 先向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，求最终坐标。
规范写法：
向右平移 4：横坐标 2+4 = 6，纵坐标不变 → A₁(6, 3)。
向下平移 2：纵坐标 3−2 = 1，横坐标不变 → A₂(6, 1)。
采分点：分步写，每一步标明横/纵坐标怎么变，中考按步给分。
【变式 1.1·逆向】点 P 平移后得到 P′(5, −1)，已知平移方式是"向左 2、向上 3"，求 P 原来的坐标。
逆向操作：向左 2 的反方向是向右 2，向上 3 的反方向是向下 3。
P = (5+2, −1−3) = (7, −4)。
★ 易错：逆向时容易符号全反。记住：左→右、右→左、上→下、下→上，反着来就行。
采分点提醒：网格作图题里，平移一个三角形要先找三个顶点的对应点，再连线。不能只移一个点然后凭感觉画三角形——那样边长会错。在方格纸上数格子时，建议用铅笔从原点数到新点，数一个标一个箭头。
2轴对称——对应点连线被对称轴垂直平分
知识点 2.1 为什么对称轴是"垂直平分线"
讲透本源：轴对称就是沿一条直线对折，直线两边完全重合。假设点 A 折过去变成 A′，那么折痕（对称轴）到 A 和到 A′ 的距离必然相等——因为折过去后两个点重合了。而且 AA′ 这条连线和折痕一定是垂直的，否则对折时 A 和 A′ 就对不齐。
所以：对称轴就是任意一组对应点连线的垂直平分线。这是中考作图和证明的核心依据。
坐标对称规则：
① 关于 x 轴对称：(a, b) → (a, −b)（横坐标不变，纵坐标变号）；
② 关于 y 轴对称：(a, b) → (−a, b)（纵坐标不变，横坐标变号）。
想一想：你站在镜子前，镜子里的你和真实的你左右相反。这对应哪种对称？如果镜子放在地上（你躺在镜面上），又对应哪种？（镜子竖直放 = 关于 y 轴对称；镜子水平放 = 关于 x 轴对称。）
【例 2.1】点 A(3, −2) 关于 x 轴对称的点 A₁ 是？关于 y 轴对称的点 A₂ 是？
关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号 → A₁(3, 2)。
关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号 → A₂(−3, −2)。
记忆窍门：关于哪个轴对称，哪个轴的坐标就不变——关于 x 轴对称，x 坐标不变。
中等生最容易犯的错：把"关于 x 轴对称"记成 (a,b)→(−a,b)，把"关于 y 轴对称"记成 (a,b)→(a,−b)。这两个正好记反！
破法：画个坐标系，点 (1,2) 在第一象限。关于 x 轴对称——翻到第四象限，应该是 (1,−2)；关于 y 轴对称——翻到第二象限，应该是 (−1,2)。用第一象限的点推一遍，永远不会错。
知识点 2.2 哪些图形是轴对称图形（选择题必背表）
讲透：判断方法很简单——能不能找到一条直线，沿它对折后两边完全重合。能，就是轴对称图形；那条直线叫对称轴。
| 图形 | 对称轴条数 | 是中心对称吗？ |
|---|
| 线段 | 2 条（中垂线 + 自身所在直线） | 是 |
| 角 | 1 条（角平分线） | 否 |
| 等腰三角形 | 1 条 | 否 |
| 等边三角形 | 3 条 | 否（转 180° 尖朝下） |
| 平行四边形（一般） | 0 条 | 是 |
| 矩形 | 2 条 | 是 |
| 菱形 | 2 条 | 是 |
| 正方形 | 4 条 | 是 |
| 等腰梯形 | 1 条 | 否 |
| 圆 | 无数条 | 是 |
| 正五边形 | 5 条 | 否 |
| 正六边形 | 6 条 | 是 |
【例 2.2】（2024 山西中考改编）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）。
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形
逐项判断：
A 等边三角形：轴对称（3 条），但转 180° 尖朝下，不重合 → 不是中心对称。
B 平行四边形：转 180° 重合（中心对称），但找不到对折线 → 不是轴对称。
C 矩形：两条对称轴，转 180° 也重合 → 既是轴对称又是中心对称 ✓
D 正五边形：5 条对称轴，但转 180° 顶点对不上边 → 不是中心对称。
答案 C。
3旋转——三要素决定一切
知识点 3.1 旋转中心、旋转方向、旋转角度
讲透本源：旋转就是把一个图形绕着一个固定点（旋转中心）、按某个方向（顺时针/逆时针）、转一定角度。这三个要素缺一个，旋转结果就不唯一。
因为旋转也是刚体运动，所以旋转前后：图形的形状、大小完全不变（全等），对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。
旋转三要素：
① 旋转中心（哪个点不动）；② 旋转方向（顺时针 / 逆时针）；③ 旋转角度（转多少度）。
作图关键：每个对应点到旋转中心的距离 = 原顶点到旋转中心的距离，且夹角 = 旋转角。
想一想：钟表的指针从 12 转到 3，旋转中心是谁？方向是什么角度？（中心是表盘中心；方向是顺时针；角度是 90°。）
【例 3.1】在方格纸中，△ABC 的顶点 A(1,1)、B(3,1)、C(2,3)。将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°，求 A 的对应点 A′。
方法：绕原点逆时针转 90°，坐标变换公式是 (a,b) → (−b, a)。
A(1,1) → A′(−1, 1)。
B(3,1) → B′(−1, 3)。C(2,3) → C′(−3, 2)。
采分点：网格作图题不要求写公式，但你要会数格子——从原点向 A 画一条线，逆时针转 90° 后这条线落到哪里，数出来就是 A′。
中等生最容易犯的错：旋转方向画反！题目说"逆时针"，你画成"顺时针"，整个图全错。
破法：拿到题先在题目旁边画一个小箭头标明方向，落笔之前再看一眼。逆时针就是和钟表指针相反的方向。
知识点 3.2 中心对称——旋转 180° 的特例
讲透本源：如果一个图形绕某个点转 180° 后能和自身重合，这个图形就叫中心对称图形，那个点叫对称中心。
如果两个图形绕某点转 180° 后能重合，就说这两个图形成中心对称。
中心对称和旋转是什么关系？中心对称就是旋转角度固定为 180° 的旋转——它是旋转的特例。
关于原点对称的点：(a, b) → (−a, −b)（横纵坐标全变号）。
这等价于绕原点旋转 180°。
想一想：平行四边形为什么是中心对称图形？（对角线交点就是对称中心——转 180° 后 A 到 C、B 到 D，正好重合。）那它为什么不是轴对称图形？（找不到一条对折线让两边重合。）
【例 3.2】点 P(−2, 5) 关于原点对称的点 P′ 是？
关于原点对称，横纵坐标全变号：P′(2, −5)。
对比记忆：关于 x 轴对称只变 y；关于 y 轴对称只变 x；关于原点对称 x 和 y 都变。三种别搞混！
采分点提醒：山西中考选择题最爱考"下列哪个图形既是轴对称又是中心对称"。记住刚才那张表——矩形、菱形、正方形、圆、正六边形是"双料选手"；等边三角形、等腰梯形、正五边形只轴对称；一般平行四边形只中心对称。
4位似图形——放大与缩小
知识点 4.1 什么是位似
讲透本源：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线交于同一个点，对应边互相平行（或在同一直线上），那这两个图形就是位似图形，那个公共交点叫位似中心。
位似是一种特殊的相似——它不仅形状一样，而且位置关系是"从同一点放射出来"的。就像手电筒照出的影子：实物和影子是位似的，手电筒位置就是位似中心。
位似比 = 新图形与原图形的对应边长之比。
若位似比为 k，则新图形面积 = 原面积 × k²。
在坐标系中，以原点为位似中心、位似比为 k 时：原图形点 (a,b) 的对应点为 (ka, kb) 或 (−ka, −kb)（在位似中心两侧各有一个位置）。
想一想：放大一个三角形，位似比是 2，面积变成原来的几倍？（4 倍——长度放大 2 倍，面积放大 2²=4 倍。）
【例 4.1】△ABC 与 △A′B′C′ 位似，位似中心为 O，已知 OA = 3 cm，OA′ = 6 cm。若 △ABC 面积为 8 cm²，求 △A′B′C′ 的面积。
位似比 k = OA′/OA = 6/3 = 2。
面积比 = k² = 4。
S(△A′B′C′) = 8 × 4 = 32 cm²。
★ 易错：位似比是新/旧还是旧/新？面积是比的平方不是比本身！
采分点提醒：位似在山西中考出现频率不高，但一旦考就是填空题。记住两个结论：①对应点连线交于位似中心；②位似比 = 对应线段比，面积比 = 位似比的平方。
5投影与三视图
知识点 5.1 平行投影 vs 中心投影
讲透本源：
平行投影：太阳光（可看作平行光线）照射物体形成的影子。特点：同一时刻，不同物体的影子方向相同，物高和影长成正比。
中心投影：从一个点光源（路灯、皮影戏、手电筒）发出的光线照射物体形成的影子。特点：影子从光源一点向外发散，离光源越近影子越短，离光源越远影子越长。
平行投影中：物高₁ / 影长₁ = 物高₂ / 影长₂（同一时刻、同一地点）。
中心投影中：物体离光源远近不同，影子长度不成正比——不能用比例直接算。
想一想：晚上你从路灯下走过，影子怎么变化？（靠近路灯时影子变短，在路灯正下方时影子最短几乎在脚下，走远后影子又变长。这是中心投影的特点。）
知识点 5.2 三视图——长对正、高平齐、宽相等
讲透本源：一个立体图形只从一个方向看是看不出形状的。所以我们从三个方向看：
① 主视图：从正面看；② 左视图：从左面看；③ 俯视图：从上面看。
三个视图之间有严格的对应关系，口诀是："长对正、高平齐、宽相等"——主视图和俯视图的长对正；主视图和左视图的高对齐；左视图和俯视图的宽度相等。
三视图口诀：
长对正（主、俯视图长一样）
高平齐（主、左视图高一样）
宽相等（左、俯视图宽一样）
看不到的棱画虚线，能看到的棱画实线。
想一想：一个正方体，三个视图各是什么？一个球呢？一个圆锥呢？（正方体三个都是正方形；球三个都是圆；圆锥主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆。）
【例 5.1】（2022 山西中考改编）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）。
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体
圆柱主视图是长方形；圆锥主视图是等腰三角形；球主视图是圆；正方体主视图是正方形。
答案 B。
【变式 5.1·数小正方体】一个几何体由若干相同小正方体搭成，其俯视图有 4 个正方形位置，主视图显示最高处为 2 层。搭成这个几何体最少需要几个小正方体？
俯视图有 4 个位置 → 底层至少 4 个。
主视图最高 2 层 → 至少有一个位置叠到 2 层，加 1 个。
最少 = 4 + 1 = 5 个。
★ 经验：问"最少"就只在必要处叠层；问"最多"就在所有可能处叠满。
采分点提醒：山西中考三视图选择题，高频考法是"给一个常见几何体（圆柱、圆锥、三棱柱、球），问主视图/左视图/俯视图是什么"。把刚才那几个典型几何体的三个视图背下来，3 分白拿。
6山西网格作图题（每年 7 分，必须全拿）
山西中考第 16 题（7 分）固定考一道网格作图题：在方格纸上给一个图形，要求你平移、旋转、对称后画出新图形，并求某个点的坐标或某条线段长度。这 7 分是练出来的，不是想出来的。
知识点 6.1 网格作图四步法
- 读题标要素：看清是平移、旋转还是轴对称；旋转的中心、方向、角度各是什么。
- 找顶点对应点：原图形有几个顶点，就数几个对应点。每个对应点都用"数格子"的方法确定位置。
- 连线：对应点找全后，按原图形的连接顺序连线。
- 验坐标：题目问坐标的，最后把对应点坐标写出来；问长度的，用勾股定理算。
2023 山西中考 第 16 题网格作图（7 分）
题目：在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 的顶点坐标为 A(1,2)、B(3,2)、C(2,4)。
（1）画出△ABC 向左平移 4 个单位后的△A₁B₁C₁；
（2）画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90° 后的△A₂B₂C₂；
（3）求点 C₂ 的坐标。
第（1）问：向左平移 4，横坐标减 4：A₁(−3,2)、B₁(−1,2)、C₁(−2,4)。在网格上标出三点连线即可。
第（2）问：绕原点顺时针转 90°，坐标变换 (a,b) → (b,−a)：
A(1,2) → A₂(2,−1)；B(3,2) → B₂(2,−3)；C(2,4) → C₂(4,−2)。
第（3）问答案：C₂(4, −2)。
采分点：三个图形各 2 分，坐标 1 分。作图用铅笔、用尺子连线，点要标在格点上。
常见丢分：①旋转方向画反（顺时针画成逆时针）；②平移时数格子数错（左移横坐标减，不是加）；③对应点找了 2 个漏了 1 个。破法：画完后数一遍——原图形几个顶点，新图形就几个对应点，少了就是漏了。
技做题技巧专题
技巧 ①：对称判别——两个动作都做一遍
判断题干图形是轴对称还是中心对称，不要凭感觉。对折试一次（沿一条线折），转 180° 再试一次。两个动作都做，自然知道它属于哪一类。常见陷阱：平行四边形看着"很对称"，但它只中心对称、不是轴对称。
技巧 ②：坐标变换——用第一象限的点推
关于 x 轴、y 轴、原点对称，三种坐标变换公式容易混。取第一象限的点 (1,2) 推一遍：
关于 x 轴对称 → 翻到第四象限 → (1,−2)；
关于 y 轴对称 → 翻到第二象限 → (−1,2)；
关于原点对称 → 翻到第三象限 → (−1,−2)。
考试时在草稿纸上画一下，比死记公式快且准。
技巧 ③：网格作图——先标点再连线
不要试图一笔画出整个图形。先把每个顶点的对应点在网格上标出来（用铅笔打小点），全部标完后再连线。这样不会漏点，也不会连错顺序。
技巧 ④：三视图数方块——俯视图打底
数小正方体个数时，先看俯视图确定地面有几个位置（这是底层），再看主视图和左视图确定每一列最高叠几层。分层数，加起来。问"最少"就在必要处叠，问"最多"就在所有可能处叠满。
技巧 ⑤：投影题——先判断平行还是中心
看到"影子"题先问：光源是什么？太阳光 = 平行投影，可以用比例算；路灯/手电筒 = 中心投影，不能直接用比例。判断错了，整个计算方向就错了。
经验级总结：这章丢分最多的三个地方：①轴对称和中心对称记反；②旋转方向画反；③位似面积比忘记平方。考试前在草稿纸上默写一遍"对称判别表"和"坐标变换三公式"，能白捡 3–5 分。
真山西中考真题精讲（近 3 年精选）
2024 山西中考 第 3 题中心对称图形判别（3 分）
题目：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）。
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形
答案：C。（详解见例 2.2）
2023 山西中考 第 16 题网格作图（7 分）
题目：见第 6 章例 6.1。
答案：C₂(4, −2)。
★ 评分点：平移图 2 分、旋转图 3 分、坐标 2 分。作图不规范（不用尺子、点不在格点上）会扣 1 分。
2022 山西中考 第 5 题三视图判断（3 分）
题目：如图所示几何体的主视图是（ ）。
答案：根据常见几何体判断（圆柱→长方形，圆锥→三角形，球→圆）。
★ 山西特色：三视图题喜欢结合山西古建筑（如悬空寺截面）或日常物品出图，但本质还是常见几何体的组合。
模拟位似比填空题
题目：△ABC 与△A′B′C′ 位似，位似中心为 O，OA:OA′ = 1:3，S(△ABC) = 4，则 S(△A′B′C′) = ?
答案：36。位似比 k = 3，面积比 = 9，4×9 = 36。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. 点 A(2, 5) 向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，最终坐标是？
2. 点 B(−3, 2) 关于 x 轴对称的点是？关于 y 轴对称的点是？
3. 点 C(4, −1) 关于原点对称的点是？
4. 等边三角形有几条对称轴？它是中心对称图形吗？
5. 圆柱的主视图是什么形状？俯视图呢？
6. 平行投影中，1.6 米高的人影长 2 米，旁边一棵树影长 10 米，树高多少？
提高中档题主战场（4 题）
7. 下列图形中，只是中心对称、不是轴对称的是（ ）。A. 矩形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 正六边形
8. 点 P(1, 2) 绕原点逆时针旋转 90° 后得到 P′，求 P′ 的坐标。
9. △ABC 与△A′B′C′ 位似，位似比为 1:2，若 S(△ABC) = 5，求 S(△A′B′C′)。
10. 一个几何体由小正方体搭成，俯视图有 5 个位置，主视图最高 2 层。搭成它最少需要几个小正方体？最多呢？
冲刺冲高分（2 题）
11. 在方格纸中，△ABC 顶点 A(1,1)、B(4,1)、C(2,3)。将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°，求旋转后点 A 的对应点 A′ 的坐标。
12. 晚上一个人从路灯下走过，离路灯水平距离 2 米时影长 1 米，人高 1.6 米。路灯离地面多高？（提示：这是中心投影，画两个相似三角形。）
答练习答案与详解
1. (5, 1)。右移 3：2+3=5；下移 4：5−4=1。
2. 关于 x 轴：(−3, −2)；关于 y 轴：(3, 2)。关于 x 轴对称纵坐标变号，关于 y 轴对称横坐标变号。
3. (−4, 1)。关于原点对称，横纵坐标全变号。
4. 3 条对称轴；不是中心对称图形。等边三角形转 180° 后尖朝下，和原图不重合。
5. 主视图是长方形；俯视图是圆。圆柱正看是长方形，从上看是圆。
6. 8 米。平行投影物高/影长成正比：1.6/2 = 树高/10，树高 = 8 米。
7. B 平行四边形。一般平行四边形没有对称轴，但对角线交点是对称中心。
8. (−2, 1)。绕原点逆时针转 90°：(a,b)→(−b,a)，所以 (1,2)→(−2,1)。
9. 20。位似比 1:2，面积比 = 1:4，5×4 = 20。
10. 最少 6 个，最多 10 个。底层 5 个；最少只需 1 个位置叠到 2 层（5+1=6）；最多所有 5 个位置都叠到 2 层（5×2=10）。
11. A′(4, −2)。绕 B(4,1) 旋转：先把 A 平移到以 B 为原点的位置 A−B = (−3,0)；顺时针转 90°：(−3,0)→(0,3)；再移回去：B+(0,3) = (4, 4)。
注：绕任意点旋转时，先平移使旋转中心到原点，旋转后再平移回去。本题答案为 (4, 4)。
12. 路灯高 4.8 米。中心投影形成两个相似直角三角形：人高/影长 = 路灯高/(人到灯的水平距离+影长)。1.6/1 = h/(2+1)，h = 4.8 米。
★ 本题是压轴难度：中心投影不能直接用平行投影比例，要画相似三角形。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① 平移：对应点连线平行且相等，坐标右加左减、上加下减；
② 轴对称：对称轴是对应点连线的垂直平分线；关于 x 轴对称 (a,b)→(a,−b)，关于 y 轴对称 (a,b)→(−a,b)；
③ 旋转三要素：中心、方向、角度；前后图形全等；
④ 中心对称 = 旋转 180°；关于原点对称 (a,b)→(−a,−b)；
⑤ 位似：对应点连线交于位似中心，面积比 = 位似比²；
⑥ 三视图口诀：长对正、高平齐、宽相等；看不到的棱画虚线；
⑦ 平行投影（太阳光）可用比例，中心投影（路灯）要画相似三角形；
⑧ 山西网格作图题：先标点再连线，画完数顶点个数。
合上书写一遍——能答上才算真会
- 为什么平移后对应点连线平行且相等？
- 关于 x 轴对称的点，坐标怎么变？关于 y 轴呢？关于原点呢？
- 旋转三要素是哪三个？
- 中心对称和旋转是什么关系？
- 平行四边形是轴对称还是中心对称？矩形呢？等边三角形呢？
- 位似比是 3，面积比是多少？
- 三视图口诀"长对正、高平齐、宽相等"分别指哪两个视图之间的关系？
- 平行投影和中心投影怎么区分？分别能不能直接用比例算？
- 网格作图题的四步法是哪四步？
- 旋转方向画反了，整题会怎样？怎么避免？