图本章知识地图 + 山西中考考情
本章知识结构（一张图看懂）：
圆是什么：到定点（圆心 O）距离等于定长（半径 r）的所有点
圆的性质 ┬─ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦
├─ 弧、弦、圆心角关系
└─ 圆周角定理：同弧圆周角 = ½ 圆心角；直径→90°
点/线与圆 ┬─ 点与圆：d<r 在圆内、d=r 上、d>r 外
├─ 直线与圆：相离 / 相切 / 相交（比 d 与 r）
└─ 切线：⊥过切点半径；切线长定理
计算：弧长 l = nπr/180；扇形 S = nπr²/360 = ½lr
贯穿辅助线："连半径、作垂直、见直径想直角"。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 切线证明 + 相关计算 | 每年必考 | 解答题第 19 题，7–8 分 | ★★★（套路题，练熟就拿分） |
| 圆周角定理求角度 | 高频 | 选择/填空，3 分 | ★★ |
| 弧长 / 扇形面积计算 | 高频 | 填空或嵌入切线题，3–5 分 | ★★ |
| 垂径定理求弦长 | 中频 | 填空，3–5 分 | ★★ |
| 直线与圆位置关系判断 | 中频 | 选择，3 分 | ★ |
给中等生的话：圆这章看着唬人，其实考试就两块：一是切线证明，固定套路"连半径、证垂直"；二是算角度、算弧长扇形，全是套定理套公式。你整体意识不强没关系，圆的辅助线就那三招——见弦作垂直、见切点连半径、见直径想直角。下面一个一个教你认。
1圆的概念与垂径定理
知识点 1.1 圆的定义——到定点距离等于定长
圆是到定点 O 的距离等于定长 r 的所有点组成的图形。O 叫圆心，r 叫半径。同圆里所有半径相等——这是后面一切证明的起点。
相关概念：弦是圆上两点连线；过圆心的弦叫直径（最长的弦，=2r）；圆上两点间的部分叫弧。
知识点 1.2 垂径定理——为什么直径垂直弦就平分弦
垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
讲透为什么（用等腰三角形三线合一证）：设直径 CD⊥弦 AB 于 M，连 OA、OB。
∵ OA=OB（都是半径），∴ △OAB 是等腰三角形；又 OM（即直径）⊥AB，由等腰三角形三线合一，OM 同时也是 AB 边上的中线 ⇒ AM=BM。
所以垂径定理本质就是等腰三角形三线合一。看到弦，作圆心到弦的垂线段，就得到一个"半弦、半径、弦心距"的直角三角形，用勾股。
采分点：垂径定理计算题，连半径、作弦心距，构造直角三角形：r² = (弦长/2)² + 弦心距²。知二求一。
【例 1.1】⊙O 半径为 5，弦 AB=8，求圆心 O 到弦 AB 的距离。
作 OM⊥AB 于 M。由垂径定理，AM=AB/2=4。
在 Rt△OAM 中：OM = √(OA²−AM²) = √(25−16) = √9 = 3。
知识点 1.3 弧、弦、圆心角关系
在同圆或等圆中：两个圆心角、两条弧、两条弦，这三组量里只要有一组相等，其余各组都相等。
简单说：圆心角相等 ⇔ 所对弧相等 ⇔ 所对弦相等。这是圆里"知一推二"的基本盘。
2圆周角定理（求角度的利器）
知识点 2.1 圆周角 = 圆心角的一半——怎么证
圆周角定理：一条弧所对的圆周角，等于它所对圆心角的一半。
推论：同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角（90°）。
讲透为什么（用等腰三角形两个底角证）：设圆心角 ∠AOB，同弧所对圆周角 ∠ACB（C 在圆上）。连 CO 并延长。
∵ OA=OC，△AOC 等腰 ⇒ ∠A=∠ACO；由外角定理，∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO。
同理 ∠BOD=2∠BCO。加起来：∠AOB = 2(∠ACO+∠BCO) = 2∠ACB。
所以圆周角 ∠ACB = ½ 圆心角 ∠AOB。它还是靠"半径相等→等腰→外角"推出来的。
想一想：直径所对圆心角是平角 180°，那它所对圆周角是多少？180°÷2 = 90°。所以"见直径想直角"。
【例 2.1】一条弧所对圆心角为 80°，它所对的圆周角是多少？
圆周角 = 80°÷2 = 40°。
【例 2.2】AB 是 ⊙O 直径，C 在圆上，∠A=30°，求 ∠B。
∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90°（直径所对圆周角直角）。
在 Rt△ABC 中：∠B = 90°−∠A = 90°−30° = 60°。
经验：图里出现直径 + 圆上一点，立刻连这点和直径两端，得到直角三角形。
知识点 2.2 圆内接四边形——对角互补
圆内接四边形（四个顶点都在圆上）：对角互补（和为 180°），并且一个外角等于它的内对角。
讲透为什么：圆内接四边形 ABCD，∠A 对弧 BCD，∠C 对弧 BAD。这两段弧合起来正好是整个圆（360°）。由圆周角定理，∠A=½弧BCD，∠C=½弧BAD，所以 ∠A+∠C=½×360°=180°。对角互补。
采分点：图里看到四个点都在圆上的四边形，直接用"对角和 180°"求角，比绕三角形快。
3点与圆、直线与圆的位置关系
知识点 3.1 用 d 和 r 比较判断位置
点与圆（d 是点到圆心距离）：d<r 点在圆内；d=r 点在圆上；d>r 点在圆外。
直线与圆（d 是圆心到直线距离）：d>r 相离（没交点）；d=r 相切（一个交点）；d<r 相交（两个交点）。
就一句话：比 d 和 r 的大小。直线和圆相切的那一刻，d=r，这条直线就是切线，唯一公共点叫切点。
4切线的判定与性质（山西每年必考）
知识点 4.1 切线的两条定理
性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
判定：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
证切线的两种套路：
① 有点在圆上（已知直线过圆上一点 P）→ 连 OP，证 OP⊥这条直线（"连半径、证垂直"）；
② 没点明切点（不知直线过哪点）→ 作圆心到直线的垂线段，证它等于半径 r（"作垂直、证半径"）。
山西中考几乎全是第①种。
采分点：证切线要写全："连接 OP，∵…∴ OP⊥直线 l，又 ∵OP 是半径 ∴ l 是 ⊙O 切线。"最后那句"OP 是半径"不能漏。
知识点 4.2 切线长定理
从圆外一点 P 引圆的两条切线，切点为 A、B，则 PA=PB（两条切线长相等），并且 PO 平分 ∠APB。
道理：连 OA、OB、OP。OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质），OA=OB=r，OP 公共 ⇒ Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）⇒ PA=PB。
【例 4.2】PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，∠APB=60°，PO=8，求切线长 PA。
由切线长定理，PO 平分 ∠APB ⇒ ∠APO=30°。
又 OA⊥PA，△OAP 是直角三角形，∠APO=30° 所对直角边 OA=PO/2=4。
PA = √(PO²−OA²) = √(64−16) = √48 = 4√3。
【例 4.1】2022 山西中考模型AB 是 ⊙O 直径，C 在圆上，过 C 作直线 PC，使 ∠PCA=∠ABC。求证：PC 是 ⊙O 切线。
证明（连半径、证垂直）：
连 OC。
∵ OA=OC ∴ ∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90°，即 ∠ABC+∠BAC=90°。
又 ∠PCA=∠ABC（已知），∠OCA=∠OAC=∠BAC，
∴ ∠PCO = ∠PCA+∠OCA = ∠ABC+∠BAC = 90°，即 OC⊥PC。
又 ∵OC 是半径 ∴ PC 是 ⊙O 的切线。
★ 套路总结：连半径 → 直径推直角 → 用角的等量代换算出 ∠PCO=90° → 下切线结论。
5弧长与扇形面积（套公式送分）
知识点 5.1 两个公式——为什么是这样
弧长：l = nπr / 180
扇形面积：S = nπr² / 360 = ½·l·r
（n 是圆心角度数，r 是半径）
讲透为什么：整个圆周长 2πr 对应 360°，那 1° 对应的弧长就是 2πr/360 = πr/180，n° 就是 nπr/180。
扇形面积同理：整圆面积 πr² 的 n/360，即 nπr²/360。
记忆技巧：S=½lr 和三角形面积 ½底×高 很像——把弧 l 想成"底"，半径 r 想成"高"。
【例 5.1】半径 6、圆心角 120° 的弧长和扇形面积。
弧长 l = 120×π×6/180 = 4π。
扇形 S = 120×π×36/360 = 12π（或 S=½lr=½×4π×6=12π）。
【例 5.2·阴影面积】圆心角 60° 的扇形中，半径 OA=OB=6，求扇形与三角形 OAB 之间的阴影面积。
阴影 = 扇形 OAB 面积 − △OAB 面积。
扇形 S = 60π·36/360 = 6π。
△OAB 中 OA=OB=6，∠AOB=60°，是等边三角形，面积 = (√3/4)×6² = 9√3。
阴影 = 6π − 9√3。
经验：圆里阴影常是"扇形减三角形"。先求扇形面积，再减里面三角形。
技做题技巧专题
技巧 ①：圆里三句辅助线口诀
- 见弦作垂直：圆心到弦作垂线，垂径定理 + 勾股算弦长。
- 见切点连半径：切线证明先连切点和圆心，证垂直。
- 见直径想直角：直径所对圆周角 90°，用来凑直角三角形。
技巧 ②：求角度，先找"同弧"
圆里角度题，两个角只要对同一段弧，就相等（圆周角定理）。图上看到几个角，先问"它们是不是对同一段弧？"是的话立刻等起来。
技巧 ③：切线证明，最后那句别漏
证出垂直后，必须写"又∵OC 是半径（且 C 在圆上），∴直线是切线"。只写垂直不写"半径外端"，会扣 1 分。
技巧 ④：阴影面积用"割补"
求圆里阴影面积，别想直接算——看它能不能拼成"扇形减三角形"或"大扇形减小扇形"。山西爱考扇形作阴影，先把圆心角 n 求出来。
技巧 ⑤：求角度，先问"半径相等"在哪
圆里所有角度证明，几乎都从"OA=OB=OC 是半径"开始——半径相等就有等腰三角形，等腰就有等边对等角，再用外角定理。看到圆心和圆上两点连线，立刻在心里标"等腰三角形"。2026 山西那道切线题就是这么推出来的。
经验级总结（带过学生的真话）：圆这章最常错三个：①切线证明忘了写"OC 是半径"；②垂径定理算弦长时忘了弦长要除以 2（直接拿整条弦和半径勾股）；③扇形面积和弧长公式里 n 和 π 位置搞混。考前把 l=nπr/180、S=nπr²/360 各抄三遍。
给你的定心丸：圆综合题看着吓人，其实第一问永远是"连半径证垂直"，第二问才是算扇形面积。把第一问的 4 分稳稳拿到，第二问套公式，这道 8 分题你能拿 6 分以上。别因为图复杂就空着。
真山西中考真题精讲
2026 山西中考 第 19 题切线 + 扇形面积（7 分）
题目：AB 是 ⊙O 直径，C、D 是 ⊙O 上两点，且 BD=BC。过 C 作 ⊙O 的切线交 AB 延长线于 E，连 AC、OD。若 ∠ACE=115°，OB=6，求扇形 BOD（阴影）的面积（结果保留 π）。
解析：
① 连 OC。∵CE 是切线 ∴ OC⊥CE，∠OCE=90°。
② ∠ACE=115°，而 ∠ACE=∠ACO+∠OCE=∠ACO+90° ⇒ ∠ACO=25°。
③ ∵ OA=OC ∴ ∠A=∠ACO=25°，∴ 圆心角 ∠BOC = 2∠A = 50°（圆心角是圆周角两倍）。
④ ∵ BD=BC ∴ 等弧对等圆心角，∠BOD=∠BOC=50°。
⑤ 扇形 BOD 面积 = 50π·6²/360 = 50π×36/360 = 5π。
★ 评分点：连半径得直角 1 分，推 ∠BOC=50° 2 分，由等弦得 ∠BOD=∠BOC 2 分，套扇形公式 2 分。这题是"切线性质 + 圆周角定理 + 扇形面积"三合一，正是山西圆综合的标准样子。
2023 山西中考切线长与弧长（选择/填空）
题目模型：过 A、B 两点作 ⊙O 的两条切线交于 C。
解析：由切线性质 OA⊥AC、OB⊥BC，即 ∠OAC=∠OBC=90°。再结合四边形内角和求圆心角，最后用弧长公式算。
经验：两条切线交于圆外一点，立刻想到 OA、OB 都垂直切线，出现两个直角。
2022 山西中考 第 20 题切线证明（8 分）
题目模型：见例 4.1（AB 直径，C 在圆上，∠PCA=∠ABC，证 PC 切线）。
答案：PC 是 ⊙O 切线（过程见例 4.1）。
★ 陷阱：不连 OC 直接说"PC⊥OC"，逻辑断了。必须先连半径。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. 同弧所对圆心角为 100°，它所对圆周角是多少？
2. 半径为 4、圆心角 90° 的扇形面积是多少？
3. ⊙O 半径 5，弦长 8，求圆心到弦的距离。
4. 半径 6、圆心角 120° 的弧长是多少？
5. 圆半径 5，圆心到直线距离为 3，直线与圆什么位置关系？
6. AB 是直径，C 在圆上，∠A=40°，求 ∠B。
提高中档题（4 题）
7. 圆半径 5，一条弧长为 2π，求这条弧所对圆心角 n。
8. 从圆外一点 P 引两条切线，切点 A、B，PA=7，求 PB。
9. ⊙O 半径 13，圆心到弦 AB 距离为 5，求弦 AB 长。
10. 扇形弧长为 4π，半径为 6，求扇形面积。
冲刺冲高分（2 题）
11. 2026 山西模型AB 是直径，过 C 的切线交 AB 延长线于 E，∠ACE=120°，半径 OB=4，求扇形 BOC 面积。
12. Rt△ABC 中 ∠C=90°，以 AC 为直径作 ⊙O 交 AB 于 D。求证：BC 是 ⊙O 的切线。（提示：AC 是直径，BC⊥AC 吗？）
答练习答案与详解
1. 50°。圆周角=圆心角一半。
2. 4π。S=90π·16/360=4π。
3. 3。弦一半=4，距离=√(25−16)=3。
4. 4π。l=120π·6/180=4π。
5. 相交。d=3 < r=5。
6. ∠B=50°。直径所对 ∠C=90°，∠B=90−40=50。
7. n=72°。l=nπr/180：2π=nπ·5/180 ⇒ n=72。
8. PB=7。切线长定理，两条切线长相等。
9. AB=24。弦一半=√(13²−5²)=√(169−25)=√144=12，弦长=24。
10. 12π。S=½lr=½×4π×6=12π。
11. 扇形 BOC 面积 = (16/3)π。连 OC，OC⊥CE。∠ACE=∠ACO+90=120 ⇒ ∠ACO=30°。OA=OC ⇒ ∠A=30° ⇒ 圆心角 ∠BOC=2∠A=60°。S=60π·16/360=(16/3)π。
12. 证明：∵ ∠ACB=90° ∴ BC⊥AC。又 AC 是 ⊙O 直径，即 BC 经过半径 OC 的外端 C 且垂直于半径 AC ∴ BC 是 ⊙O 切线。这是"作垂直、已半径"的典型：直角现成，直接套判定。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① 圆是"到定点距离等于定长"，同圆半径相等；
② 垂径定理：垂直弦的直径平分弦；连半径、作弦心距，r²=(弦/2)²+弦心距²；
③ 圆周角定理：同弧圆周角=½圆心角；直径所对圆周角=90°；
④ 点/直线与圆位置关系，比 d 与 r；
⑤ 切线：性质⊥半径；判定"有点连半径证垂直，没点作垂直证半径"；切线长相等；
⑥ 弧长 l=nπr/180，扇形 S=nπr²/360=½lr；
⑦ 三句辅助线口诀：见弦作垂直、见切点连半径、见直径想直角。
合上书写一遍——能答上才算真会
- 圆的定义是什么？同圆里什么都相等？
- 垂径定理内容？它本质是哪个三角形定理？
- 垂径定理算弦长，那个直角三角形三边是什么？
- 圆周角定理：圆周角和同弧圆心角什么关系？怎么证？
- 为什么直径所对圆周角是 90°？
- 怎么用 d 和 r 判断直线与圆位置关系？
- 切线的性质是什么？判定两种套路各是什么？
- 切线证明最后必须写哪句话？
- 切线长定理：从圆外一点引两条切线，什么相等？
- 弧长、扇形面积公式各是什么？S=½lr 怎么记？