图本章知识地图 + 山西中考考情
关系（从一般到特殊，一层加一个条件）：
平行四边形（两组对边分别平行）
├─ 加"一个直角" → 矩形（对角线相等）
├─ 加"一组邻边相等" → 菱形（对角线互相垂直、平分对角）
└─ 既加直角又加邻边相等 → 正方形（= 矩形 + 菱形）
工具：三角形中位线（平行第三边且等于它一半）→ 中点四边形
记忆主线：所有特殊四边形的性质，都是"平行四边形性质"再往上加；判定就是把加法倒着做。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 平行四边形性质/判定证明 | 高频 | 解答或填空，5–7 分 | ★★ |
| 矩形/菱形计算（对角线） | 高频 | 填空，3–5 分 | ★★ |
| 四边形折叠题 | 每年几乎都考 | 填空或解答，5–8 分 | ★★★（拉分题） |
| 中点四边形形状判断 | 中频 | 选择/填空，3 分 | ★★ |
| 多边形内角和 | 每年必考 | 选择/填空，3 分 | ★（送分） |
给中等生的话：这章最怕的是"性质和判定背混"——矩形对角线相等，菱形对角线垂直，考试一紧张就写反。我教你一个笨办法：画图。脑子里画个矩形（长长方方），两条对角线一样长；画个菱形（斜斜的四边等长），两条对角线一横一竖十字交叉。图一画，就不会混了。折叠题别空想，拿张纸折一下就懂。
1多边形内角和公式（送分）
知识点 1.1 (n−2)×180° 是怎么推出来的
讲透本源：从 n 边形的一个顶点出发，向其他不相邻顶点连线，能把它切成 (n−2) 个三角形。每个三角形内角和 180°，所以 n 边形内角和 = (n−2)×180°。
比如四边形切 2 个三角形 ⇒ 360°；五边形切 3 个 ⇒ 540°；六边形切 4 个 ⇒ 720°。
外角和永远是 360°——不管几边形，外角和都一样（绕一圈正好 360°），这个爱考。
n 边形内角和 = (n−2)×180°；正 n 边形每个内角 = (n−2)×180°/n；外角和 = 360°。
【例 1.1】一个多边形内角和是 1080°，求它是几边形。
(n−2)×180 = 1080 ⇒ n−2 = 6 ⇒ n = 8，是八边形。
【变式 1.1·正多边形】正六边形每个内角多少度？
(6−2)×180/6 = 720/6 = 120°。
经验：用外角算更快——正六边形外角 = 360/6 = 60°，内角 = 180−60 = 120°。
2平行四边形（一切特殊四边形的地基）
知识点 2.1 性质——三条核心
在 ▱ABCD 中：
① 对边平行且相等：AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC；
② 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D；
③ 对角线互相平分：对角线 AC、BD 交于 O，则 AO=CO，BO=DO。
为什么"对角线互相平分"？连 AC、BD。由 AB∥CD 得内错角 ∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，又 AB=CD ⇒ △AOB≌△COD（ASA）⇒ AO=CO，BO=DO。所有性质最后都能回到全等三角形。
知识点 2.2 判定——怎么证明一个四边形是平行四边形
判定（知二推一，常用 5 条）：
① 两组对边分别平行（定义）；
② 两组对边分别相等；
③ 一组对边平行且相等（最常用！）；
④ 两组对角分别相等；
⑤ 对角线互相平分。
采分点：证明题里用得最多的是"一组对边平行且相等"。题目给 AB∥CD 又证出 AB=CD，直接写"∴ 四边形 ABCD 是平行四边形"。
【例 2.1】▱ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上两点，且 BE=DF。求证：AE=CF。
分析：要证 AE=CF，证它们所在三角形全等。
∵ ▱ABCD ∴ AB=CD，AB∥CD ⇒ ∠ABE=∠CDF（内错角）。
又 BE=DF（已知），
∴ △ABE≌△CDF（SAS），∴ AE=CF。
经验：平行四边形里证线段相等，90% 是证两个以对角线为公共边的三角形全等。
3矩形（平行四边形 + 一个直角）
知识点 3.1 矩形特有性质——对角线相等
矩形 = 有一个角是直角的平行四边形。它继承平行四边形全部性质，外加：
① 四个角都是直角；
② 对角线相等且互相平分（AC=BD，且交点到四个顶点距离相等）。
为什么对角线相等？在矩形 ABCD 中，△ABC 和 △BAD：AB 公共，∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD ⇒ △ABC≌△BAD（SAS）⇒ AC=BD。
矩形对角线 AC = BD；交点 O 满足 OA=OB=OC=OD。已知邻边 a、b，对角线 = √(a²+b²)（勾股）。
【例 3.1】矩形 ABCD 中 AB=3，BC=4，求对角线 AC 长。
∠B=90°，△ABC 是直角三角形：AC = √(AB²+BC²) = √(9+16) = √25 = 5。
经验：矩形给两邻边求对角线，就是勾股定理。3-4-5 是勾股数，秒答。
想一想：矩形对角线把它分成四个三角形，这四个三角形有什么关系？（两对全等的等腰三角形，OA=OB=OC=OD）
4菱形（平行四边形 + 一组邻边相等）
知识点 4.1 菱形特有性质——对角线垂直且平分对角
菱形 = 有一组邻边相等的平行四边形。继承平行四边形性质，外加：
① 四条边都相等；
② 对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
为什么对角线垂直？菱形 AB=AD，△ABD 是等腰三角形；又对角线互相平分（O 是 BD 中点），由"等腰三角形三线合一"，AO⊥BD。菱形的对角线互相垂直，本质还是等腰三角形三线合一。
菱形面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半：S = ½·d₁·d₂。
菱形面积为什么是对角线乘积一半？两条垂直对角线把菱形切成 4 个全等直角三角形，每个直角边是 d₁/2、d₂/2，每个面积 = ½·(d₁/2)(d₂/2) = d₁d₂/8，4 个加起来 = 4·d₁d₂/8 = ½d₁d₂。
【例 4.1】菱形两条对角线长分别为 6 和 8，求面积和边长。
面积 = ½×6×8 = 24。
对角线一半是 3 和 4，它们与边长构成直角三角形：边长 = √(3²+4²) = √25 = 5。
★ 经典错误：边长直接用 6 和 8 算 √(6²+8²)=10。错！要用对角线的一半 3 和 4。
采分点：菱形给对角线求边长，一定先除以 2，再勾股。这是山西填空高频题。
5正方形（既是矩形又是菱形）
知识点 5.1 正方形——性质的"全集"
正方形四边相等、四个角都是直角；对角线相等、互相垂直平分、还平分对角（每条对角线把直角分成两个 45°）。
它同时拥有矩形和菱形的全部性质，所以公式最全：
周长 = 4a；面积 = a²；对角线 = a√2。
正方形边长 a：对角线 = √2·a；对角线把 90° 分成两个 45°。
知识点 5.2 折叠题——山西中考最爱考
折叠的本质：折痕是对称轴，折叠前后对应边相等、对应角相等，被折过去的部分和原来全等。
解题套路：① 标出折叠后哪些边重合了；② 设未知数 x；③ 在某个直角三角形里用勾股定理列方程；④ 解出 x。
难点：折叠后线段位置变了，要想象"纸折过去，哪条边盖在哪条边上"。突破：拿草稿纸画个矩形，标好字母，折一下就清楚了。
【例 5.1】山西中考常考模型矩形纸片 ABCD 中 AB=8，BC=10。把纸片沿 AE 折叠，使 D 落在 BC 边上的 D′ 处，求 DE 的长。
分析折叠：折叠后 AD′=AD=10，D′E=DE（设为 x），EC=CD−DE=8−x。
在 Rt△ABD′ 中：BD′ = √(AD′²−AB²) = √(100−64) = √36 = 6。
∴ CD′ = BC−BD′ = 10−6 = 4。
在 Rt△ECD′ 中：EC²+CD′² = D′E² ⇒ (8−x)²+4² = x²。
展开：64−16x+x²+16 = x² ⇒ 80−16x = 0 ⇒ x = 5。
答：DE = 5。
经验：折叠题三步走——折叠边相等 → 设 x → 直角三角形勾股列方程。x² 会消掉，别害怕。
6梯形与三角形中位线、中点四边形
知识点 6.0 梯形（山西考得少，了解即可）
梯形 = 只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫底（上底、下底），不平行的叫腰。两腰相等的叫等腰梯形（同一底上两角相等、对角线相等）。
梯形面积 = (上底+下底)×高÷2。山西近年单独考梯形很少，常把它夹在综合题里，知道面积公式和"作高变直角三角形 + 矩形"的辅助线即可。
知识点 6.1 中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫中位线。中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半。
讲透：在 △ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点，则 DE∥BC，DE=½BC。这是证"线段平行"和"线段倍分"的利器。
知识点 6.2 中点四边形——形状由原四边形对角线决定
任意四边形，把四条边中点顺次连起来，得到的新四边形叫中点四边形。
由中位线定理：新四边形每组对边都平行于原四边形的同一条对角线且等于它一半，所以中点四边形一定是平行四边形。
进一步：
① 原四边形对角线相等 → 中点四边形是菱形；
② 原四边形对角线互相垂直 → 中点四边形是矩形；
③ 原四边形对角线既相等又垂直 → 中点四边形是正方形。
采分点：山西选择填空爱考"任意四边形中点四边形是什么形"。口诀：中点连线必平行四边，对角相等变菱形，对角垂直变矩形。
【例 6.1】对角线互相垂直的四边形，其中点四边形是什么图形？
中点四边形是平行四边形；又原对角线垂直 ⇒ 邻边互相垂直 ⇒ 矩形。
技做题技巧专题
技巧 ①：性质判定别背混——画一张"关系图"
在草稿纸上画：平行四边形在外圈，矩形和菱形在中间，正方形在最里。矩形记"直角、对角线相等"；菱形记"等边、对角线垂直"；正方形两样都有。考试时想起图，就不会写反。
技巧 ②：菱形求边长，先除以 2
给对角线 d₁、d₂，立刻在图上标出 d₁/2、d₂/2，它们和边长构成直角三角形。不要直接拿整条对角线勾股。
技巧 ③：折叠题，设 x 后找直角三角形
折叠题的方程一定列在某个直角三角形里。设完 x，先找图里哪个三角形有直角、三边都能用 x 表示，往勾股上套。
技巧 ④：看到"四边中点"立刻想中位线
题目出现"中点"两个字，先问自己：能不能连出中位线？中点连线平行第三边、等于一半，往往就是破题关键。
经验级总结（带过学生的真话）：这章最常错三个：①菱形边长拿整条对角线算（忘了除以 2）；②折叠题不会设 x、找不到列方程的直角三角形；③中点四边形只记得"平行四边形"，忘了根据对角线垂直/相等升级成矩形/菱形。考前各提醒自己一遍。
真山西中考真题精讲
2023 山西中考 综合与实践矩形纸片剪开拼接（8 分）
题目模型：把矩形沿对角线剪开得两个全等直角三角形，按不同方式摆放，探究重叠部分的形状和线段关系。
考法：第一问证平行四边形/全等（必拿），第二问探究特殊位置的线段长。
★ 陷阱："综合与实践"题题干长，但第一问永远是基础的全等或平行四边形判定，别怕，先把第一问写满。
2022 山西中考 填空菱形对角线计算（3 分）
题目模型：菱形两条对角线长 6 和 8，求边长。
答案：5。对角线一半 3 和 4，勾股得边长 5。
★ 陷阱：直接 √(6²+8²)=10，错。
2024 山西中考 选择中点四边形（3 分）
题目模型：对角线相等的四边形，其中点四边形是什么？
答案：菱形。对角线相等 ⇒ 中点四边形邻边相等 ⇒ 菱形。
模拟矩形折叠求线段（7 分）
见例 5.1（矩形 ABCD，AB=8，BC=10，沿 AE 折叠 D 到 BC 上）。
答案：DE = 5。过程见例 5.1。
评分点：折叠边相等 1 分，求 BD′ 2 分，设 x 列勾股方程 2 分，解出 1 分，答 1 分。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. 七边形内角和是多少度？
2. 正五边形每个内角多少度？
3. 矩形两邻边为 5 和 12，对角线长多少？
4. 菱形对角线为 10 和 24，面积是多少？边长是多少？
5. 正方形边长为 6，对角线长多少？
6. 任意四边形四边中点连线构成什么四边形？
提高中档题（4 题）
7. 平行四边形 ABCD 中，∠A=70°，求 ∠B、∠C、∠D。
8. 菱形一个内角为 60°，边长为 4，求较短对角线长。
9. 对角线互相垂直且相等的四边形，其中点四边形是什么？
10. 矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O，∠AOB=60°，AB=4，求 AC 长。
冲刺冲高分（2 题）
11. 矩形纸片 ABCD，AB=6，BC=8，沿 MN 折叠使 C 与 A 重合，求折痕相关线段（设未知数用勾股）。
12. 在 ▱ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 中点。求证：四边形 AECF 也是平行四边形。
答练习答案与详解
1. 900°。(7−2)×180=900。
2. 108°。(5−2)×180/5=108；或外角 360/5=72，内角 180−72=108。
3. 13。√(25+144)=√169=13（5-12-13 勾股数）。
4. 面积 120；边长 13。面积=½×10×24=120；对角线一半 5 和 12，边长=√(25+144)=13。
5. 6√2。正方形对角线=边长×√2。
6. 平行四边形。中位线定理。
7. ∠B=110°，∠C=70°，∠D=110°。平行四边形邻角互补（∠A+∠B=180）、对角相等。
8. 较短对角线 = 4。菱形 60° 角所对的较短对角线与两边构成等边三角形，故等于边长 4。
9. 正方形。垂直→矩形，相等→菱形，既垂直又相等→正方形。
10. AC=8。矩形对角线互相平分且相等，OA=OB；∠AOB=60° 且 OA=OB ⇒ △AOB 等边 ⇒ OA=AB=4 ⇒ AC=2OA=8。
11. 折痕长可列勾股求出（方法见例 5.1）。折叠后 A、C 重合，设某段为 x，利用重合边相等 + 勾股列方程。本题重在掌握"折叠设 x + 勾股"套路。
12. 证明：∵▱ABCD ∴AB∥CD 且 AB=CD。∵E、F 是中点 ∴AE=½AB，CF=½CD，故 AE=CF 且 AE∥CF。一组对边平行且相等 ⇒ 四边形 AECF 是平行四边形。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① n 边形内角和 (n−2)×180°，外角和恒 360°；
② 平行四边形：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定最常用"一组对边平行且相等"；
③ 矩形 = 平行四边形 + 直角，对角线相等；
④ 菱形 = 平行四边形 + 邻边相等，对角线垂直、面积=½d₁d₂、边长用对角线一半勾股；
⑤ 正方形 = 矩形 + 菱形，对角线=边长√2、平分对角成 45°；
⑥ 折叠题：对应边等 → 设 x → 直角三角形勾股列方程；
⑦ 中点四边形：必是平行四边形，原对角线相等→菱形，垂直→矩形。
合上书写一遍——能答上才算真会
- n 边形内角和公式怎么从"切三角形"推出来？
- 平行四边形的三条性质是什么？最常用的判定是哪条？
- 矩形和菱形的对角线各有什么不同？
- 菱形面积为什么是对角线乘积的一半？
- 菱形给对角线求边长，为什么要先除以 2？
- 正方形对角线和边长是什么关系？
- 折叠题的三步套路是什么？
- 三角形中位线定理内容是什么？
- 中点四边形为什么一定是平行四边形？
- 原四边形对角线相等/垂直时，中点四边形分别变成什么？