图本章知识地图 + 山西中考考情
本章知识结构（一张图看懂）：
三角形基础 ┬─ 三边关系：两边之和 > 第三边（两点之间线段最短）
├─ 内角和 = 180°（剪拼 / 平行线证明）
└─ 外角 = 与它不相邻的两个内角之和
全等三角形：SSS / SAS / ASA / AAS / HL → 证线段等、证角等
特殊三角形 ┬─ 等腰：等边对等角、三线合一
├─ 等边：三边等、三角都是 60°
└─ 直角：勾股定理 a²+b²=c²、斜边上的中线 = 斜边一半
锐角三角函数：sin=对/斜、cos=邻/斜、tan=对/邻 → 解直角三角形
贯穿思想：转化——不会的三角形，想办法变成会的（作高变直角三角形、证全等变相等）。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 全等三角形证明 | 几乎每年 | 解答题第 18–20 题，7–8 分 | ★★（套路题，必须全拿） |
| 解直角三角形测高/测距 | 每年必考 | 解答题第 19 题左右，8–9 分 | ★★★（拉分题） |
| 勾股定理计算 | 高频 | 选择/填空或嵌入综合题，3–5 分 | ★★ |
| 等腰三角形性质（三线合一） | 高频 | 嵌入证明题，常与全等结合 | ★★ |
| 三角形角度计算（内外角） | 每年必考 | 选择/填空，3 分 | ★（送分） |
| 锐角三角函数选值 | 高频 | 选择/填空，3 分 | ★★ |
给中等生的话：这章 20 分里，角度计算、勾股计算、特殊角三角函数值这 9 分是白送的。真正要练的是两块：一是全等证明的"规范书写"（少一步扣 1 分），二是测高应用题的"画直角三角形"。你整体意识不强，没关系——几何证明不靠灵感，靠把已知条件一条一条翻译成角和边，下面我教你这个翻译动作。
1三角形的边与角（送分题，必须全拿）
知识点 1.1 三边关系——为什么"两边之和大于第三边"
讲透本源：这不是规定，是"两点之间线段最短"的直接推论。
比如三角形 ABC，从 A 走到 C，有两条路：①直接走线段 AC；②绕 B 走 A→B→C。
既然"两点之间线段最短"，直接走 AC 一定比绕路 AB+BC 短，所以 AB + BC > AC。
同理：AB + AC > BC，AC + BC > AB。
推论：两边之差 < 第三边 < 两边之和。给两边 a、b（a≥b），第三边 c 的范围是 a−b < c < a+b。
想一想：三条线段 2、3、6 能围成三角形吗？2+3=5 < 6，不行。为什么？因为从一端走到另一端，直走 6 比绕两段 2+3=5 还长，矛盾了。
【例 1.1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）。A. 1,2,3 B. 3,4,8 C. 4,5,6 D. 2,4,7
最快判断法：只看最短两边之和是否 > 最长边。
A：1+2=3，不大于 3（等于不行）；B：3+4=7 < 8；C：4+5=9 > 6 ✓；D：2+4=6 < 7。
答案 C。
★ 经典错误：1+2=3 时，三条线段会"躺成一条直线"，围不出三角形。必须严格大于，等于不算。
【变式 1.1·求范围型】三角形两边长为 3 和 7，第三边 x 的取值范围是？
7−3 < x < 7+3 ⇒ 4 < x < 10。
若再加条件"周长是偶数"，则 x 可取 5,6,7,8,9，其中 3+7+x 为偶数 ⇒ x 为奇数 ⇒ x=5 或 7 或 9。
知识点 1.2 内角和 180°——怎么来的（剪拼 + 平行线证明）
讲透本源（小学剪拼法）：把三角形三个角撕下来，顶点凑在一起，正好拼成一个平角（一条直线），平角就是 180°。所以三角和 = 180°。
初中严格证明（过 A 作平行线）：过 △ABC 顶点 A 作直线 l∥BC。由"两直线平行，内错角相等"，∠B 被搬到 l 上左边，∠C 被搬到 l 上右边。这三个角（∠B、∠A、∠C）在 A 点拼成一个平角 ⇒ ∠A+∠B+∠C = 180°。
这一招"作平行线"在后面证外角、证很多题都用得上。
三角形内角和 = 180°。直角三角形两锐角互余（和为 90°）。
【例 1.2】三角形三个内角度数比为 1:2:3，求三个角，并判断形状。
设三角为 x、2x、3x：x+2x+3x = 180° ⇒ 6x=180° ⇒ x=30°。
三角为 30°、60°、90°，是直角三角形。
经验：看到"角度比"，设每份为 x，用 180° 列方程。
知识点 1.3 外角定理——外角等于不相邻两内角之和
讲透：把 △ABC 的一边 BC 延长到 D，∠ACD 就是外角。
因为 ∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角），又 ∠A+∠B+∠ACB = 180°，两式一减：
∠ACD = ∠A + ∠B。
即：外角 = 与它不相邻的两个内角之和。注意是"不相邻"那个，不能加 ∠C 自己。
采分点：山西中考选择题最爱考"一个角是三角形外角，求度数"。看到图里有"延长线"，立刻标外角，用外角定理一步出答案，比绕一圈算内角快。
【例 1.3】△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，延长 BC 到 D，求 ∠ACD。
∠ACD = ∠A+∠B = 50°+60° = 110°。
（验算：∠C = 180−50−60 = 70°，外角 = 180−70 = 110° ✓）
2全等三角形（证明题的核心套路）
全等 = 两个三角形能完全重合（形状大小都一样）。证明两条线段相等、两个角相等，90% 都是先证它们所在的三角形全等。
知识点 2.1 五种判定定理——什么时候用哪一个
SSS（边边边）：三边对应相等
SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等
ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等
AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等
HL（只用于直角三角形）：斜边和一条直角边对应相等
为什么 SAS 要求"夹角"？角必须夹在两条边中间。如果角不夹在中间（即 SSA），三角形会"晃"——同样两边和一个非夹角，可以画出两个不同的三角形，所以不能判定全等。
为什么 AAA 不行？三个角相等只能保证形状一样（相似），大小可以不同（大小三角形三个角都能是 60°）。
记忆口诀："边边边、边角边、角边角、角角边，直角还有 HL；边边角、角角角，两个不能来判定。"
为什么 SSA 不行（画图反例）：画一个锐角 ∠A=30°，在一边上取 AB=5，再以 B 为圆心、半径 4 画弧，弧与另一边会交于两个点——一个锐角三角形、一个钝角三角形。这两个三角形都满足"AB=5、BC=4、∠A=30°"（即 SSA），但形状不同。这就是 SSA 不能判定全等的铁证。考试时千万别写"△__≌△__（SSA）"，零分。
知识点 2.2 证明的规范书写（山西按步给分，跳步扣分）
必须写全这个"三段论"，少一句都扣分：
① 摆出条件：在 △___ 和 △___ 中；
② 列出三组对应相等（标清楚哪个角、哪条边）；
③ 下结论：∴△___ ≌ △___（××）。
找条件的顺序：先找题目给的，再找"白送的"——公共边、公共角、对顶角、平行推出的同位角/内错角。
采分点：每一组对应相等 1 分，写"在△和△中"1 分，结论加括号写判定 1 分。对应顶点要写在对应位置（△ABC≌△DEF，A 对 D、B 对 E、C 对 F），写错位置会扣步骤分。
【例 2.1】已知：如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF。求证：AC=DF。
分析（翻译已知）：
AB∥DE ⇒ ∠B=∠DEF（同位角）；
BE=CF ⇒ BE+EC=CF+EC ⇒ BC=EF（这是隐含条件，最容易漏！）。
证明：
∵ AB∥DE，∴ ∠B=∠DEF。
∵ BE=CF，∴ BE+EC=CF+EC，即 BC=EF。
在 △ABC 和 △DEF 中：
AB=DE（已知），
∠B=∠DEF（已证），
BC=EF（已证），
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。
∴ AC=DF（全等三角形对应边相等）。
★ 最常错：看到 BE=CF 直接当 BC=EF 用，不写"BE+EC=CF+EC"这一步，扣 1 分。
【变式 2.1·公共边型】已知 AB=AC，AD 平分 ∠BAC。求证：BD=CD。
∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠BAD=∠CAD。
在 △ABD 和 △ACD 中：AB=AC（已知），∠BAD=∠CAD（已证），AD=AD（公共边）。
∴ △ABD≌△ACD（SAS），∴ BD=CD。
经验：两个三角形共用一条边（如 AD），这条边就是白送的一组相等，直接写"AD=AD（公共边）"。
3等腰三角形与等边三角形
知识点 3.1 "三线合一"为什么成立
讲透本源：等腰 △ABC 中 AB=AC。作顶角平分线 AD，
在 △ABD 和 △ACD 中：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD ⇒ △ABD≌△ACD（SAS）。
由全等得：① BD=CD（所以 AD 是中线）；② ∠ADB=∠ADC，而这俩加起来 180°，所以各 90°（所以 AD 是高）。
结论：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，是同一条线——这就是"三线合一"。它本质是全等推出来的。
性质：等边对等角（AB=AC ⇒ ∠B=∠C）；三线合一。
判定：等角对等边（∠B=∠C ⇒ AB=AC）。
想一想："三线合一"只对顶角和底边成立。腰上的高、腰上的中线不是一回事，别乱用！
【例 3.1】等腰三角形顶角为 80°，求底角。若一个内角为 80°，求另外两个角。
第一问：底角 = (180−80)/2 = 50°。
第二问要分类讨论：
① 若 80° 是顶角：底角 = 50°、50°；
② 若 80° 是底角：另一底角也是 80°，顶角 = 180−80−80 = 20°。
★ 最常错：题目说"等腰三角形一个角是 80°"，不分类讨论直接答 50°、50°。万一这个 80° 是底角呢？看到"一个角"必须分顶角、底角两种情况。
知识点 3.2 等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等）。性质：三边相等、三个角都是 60°（180÷3），有三条"三线合一"。
判定：三边等；或三角等；或等腰三角形 + 一个 60° 角。
4直角三角形与勾股定理
知识点 4.1 勾股定理——用面积法讲透为什么
在 Rt△ 中，两直角边 a、b，斜边 c：a² + b² = c²。
无字证明（拼四个直角三角形）：拿四个一模一样的直角三角形（直角边 a、b，斜边 c），拼成一个大正方形，边长是 (a+b)。中间空出一个小正方形，边长正好是 c。
大正方形面积有两种算法：
① 从外面看：(a+b)² = a² + 2ab + b²；
② 从里面看：4 个三角形 + 中间小正方形 = 4·(½ab) + c² = 2ab + c²。
两个都等于大正方形面积，所以 a²+2ab+b² = 2ab+c²，两边消掉 2ab ⇒ a²+b²=c²。
这就是勾股定理，两千多年前中国人叫"勾三股四弦五"。
常用勾股数（背下来，秒杀填空）：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25。它们的倍数（6-8-10、9-12-15）也是。考试看到直角边 6、8，秒答斜边 10。
【例 4.1】Rt△ 两直角边为 5 和 12，求斜边。
c = √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13。
【变式 4.1·逆定理】三角形三边为 6、8、10，是不是直角三角形？哪个角是直角？
找最长边 10：6²+8² = 36+64 = 100 = 10²。
是直角三角形，最长边 10 所对的角是直角。
经验：逆定理用来判断"是不是直角三角形"——算两短边平方和，看等不等于最长边平方。
【变式 4.2·实际应用】一架长 2.5 m 的梯子斜靠墙上，梯脚离墙 0.7 m，梯顶离地面多高？
墙、地面、梯子构成直角三角形。梯子是斜边 c=2.5，梯脚距离是一条直角边 0.7。
高 h = √(2.5²−0.7²) = √(6.25−0.49) = √5.76 = 2.4 m。
知识点 4.2 直角三角形另两个好用性质
① 斜边上的中线 = 斜边的一半。（直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，常用来证线段相等）
② 30° 角所对的直角边 = 斜边的一半。（30° 直角三角形三边比 1 : √3 : 2）
5锐角三角函数与解直角三角形（山西测高大题）
知识点 5.1 sin / cos / tan 到底是谁比谁
在 Rt△ 中，对锐角 A：
sin A = ∠A 的对边 / 斜边 （正弦）
cos A = ∠A 的邻边 / 斜边 （余弦）
tan A = ∠A 的对边 / 邻边 （正切）
记法（配合图）：先在图上找到锐角 A，它对面那条直角边叫对边，挨着它的直角边叫邻边，最长那条叫斜边。
口诀："正弦对比斜，余弦邻比斜，正切对比邻。"
关键：三角函数值只跟角的大小有关，跟三角形大小无关。一个 30° 角，不管三角形多大，sin30° 永远是 ½。
想一想：sin30° 和 cos60° 为什么相等？（因为 30° 的对边正好是 60° 的邻边，都是短直角边，比值都是 ½）
知识点 5.2 特殊角 30°、45°、60° 的值（怎么记不忘）
怎么记（别死背）：sin 这一行，分母都是 2，分子依次是 √1、√2、√3（即 1/2、√2/2、√3/2），从 30° 到 60° 递增。
cos 这一行正好是 sin 反过来（√3/2、√2/2、1/2）。
tan：30° 是 √3/3，45° 是 1，60° 是 √3。
忘了就画图：画一个 30° 直角三角形（三边 1、√3、2），一个等腰直角三角形（三边 1、1、√2），临时推。
最常错：tan30° 写成 √3（那是 tan60°）；sin60° 写成 1/2（那是 sin30°）。考前在草稿纸上把这张表默写一遍，比默念十遍管用。
知识点 5.3 解直角三角形应用题——仰角、俯角、坡度
三个名词先分清：
① 仰角：抬头看，视线与水平线的夹角；
② 俯角：低头看，视线与水平线的夹角；
③ 坡度 i = 铅直高度 / 水平宽度（通常写成 1:m），坡度角 α 的 tanα = i。
解题三步：① 把实物画成直角三角形；② 标出已知角和已知边；③ 选 sin/cos/tan 列方程。给水平距离和仰角求高，几乎都用 tan。
【例 5.1】2022 山西中考改编测太原双塔寺高度：在地面 A 点测得塔顶仰角 30°，沿正对塔方向走 20 m 到 B 点，测得仰角 60°。求塔高 CD（结果保留根号）。
画图：CD⊥地面，C 是塔顶。设 CD = h，BD = x。
在 Rt△BCD 中：tan60° = h/x ⇒ h = √3·x ……①
在 Rt△ACD 中：tan30° = h/(x+20) ⇒ h = (x+20)/√3 ……②
由①②：√3·x = (x+20)/√3 ⇒ 3x = x+20 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 10。
h = √3·10 = 10√3 m。
答：塔高 10√3 m。
经验：这种"两个仰角"题，设两个未知数（高 h、近点距离 x），列两个 tan 方程。山西近五年测高题全是这个模型。
【变式 5.1·坡度型】模拟一段河堤坡度 i=1:√3，堤高 5 m，求坡长。
坡度 i = 高/水平宽 = 1/√3。高 = 5 ⇒ 水平宽 = 5√3。
坡长 = √(5²+(5√3)²) = √(25+75) = √100 = 10 m。
（也可看出坡度角 tanα=1/√3 ⇒ α=30°，30° 对边=高 5 = 斜边一半 ⇒ 斜边=10）
技做题技巧专题（考试时怎么抢时间、抢分）
技巧 ①：30 秒判断用哪种全等判定
- 已知两组边相等 → 找它们的夹角（SAS）或第三边（SSS）。
- 已知一组边一组角 → 再找一组角（ASA/AAS）。
- 直角三角形找不到别的 → 想 HL（斜边+直角边）。
- 题目有平行 → 先标同位角/内错角，往往就是一组角相等。
技巧 ②：证明题"翻译已知"动作
中等生不会做证明题，不是笨，是不把已知条件翻译成角和边。读题时边读边在图上标：看到"AB=AC"就在图上画记号；看到"AD 平分∠BAC"就把两个小角标成一样；看到"AB∥CD"立刻写出内错角相等。标完一遍图，全等条件常常自己就凑齐了。
技巧 ③：看到等腰想"三线合一"，看到直角想勾股
题目给等腰，立刻想到"作底边高，同时也是中线、角平分线"——这是最常用的辅助线。题目给直角三角形或需要求线段长，立刻套勾股。辅助线口诀："等腰作高，直角作高，两点连线，公共边连。"
技巧 ④：测高题先画两个直角三角形
山西测高题几乎都是"站远点仰角小、走近点仰角大"两个直角三角形共用一条高。不要急着列式，先把两个直角三角形分开画，各自标上对边、邻边，再选 tan。设未知数时，"近点到塔底距离"通常比"塔高"更好设。
经验级总结（带过学生的真话）：这章丢分最多的不是难题，是这四个：①全等证明漏写"BC=EF 是 BE=CF 推出来的"；②SSA 当判定写；③等腰三角形"一个角"不分类讨论；④测高题忘了"两人眼睛到地面有个高度差（仪器高 1.5 m 左右）"。这四点考前各念一遍。
真山西中考真题精讲（近 3 年精选）
2022 山西中考 第 18 题全等三角形证明（7 分）
题目模型：点 B、E、C、F 共线，AB=DE，AB∥DE，BE=CF，求证 AC=DF（完整过程见例 2.1）。
评分标准：由平行推角等 1 分，由 BE=CF 推 BC=EF 2 分，列三组条件 1 分，写"△≌△（SAS）"1 分，结论 AC=DF 1 分。
★ 陷阱：不写"BE+EC=CF+EC"直接用 BC=EF，扣 2 分。
2021 山西中考 第 19 题解直角三角形测高（8 分）
题目模型：在两地测同一建筑物顶端仰角，已知两点距离，求建筑高度（见例 5.1 双塔模型）。
评分标准：画直角三角形 1 分，设未知数 1 分，列两个 tan 方程 3 分，解方程 2 分，写答带单位 1 分。
★ 山西特色：爱套本地景观（太原双塔、大同华严寺、平遥古城墙）。外壳不影响数学，剥掉就是"两个仰角"模型。
2024 山西中考 选择特殊角三角函数值（3 分）
题目模型：计算 2sin30° + tan45° 的值。
解析：2×½ + 1 = 1 + 1 = 2。
★ 陷阱：把 sin30° 记成 √3/2（那是 sin60°），整题错。
模拟等腰三角形角度计算（3 分）
等腰三角形一个内角为 100°，求底角。
解析：100° 只能是顶角（若作底角，两底角就 200° 超过 180°）。底角 = (180−100)/2 = 40°。
★ 分类讨论的边界：钝角（>90°）在等腰三角形里只能当顶角，因为两个底角若都钝角，和就超 180° 了。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. 下列能组成三角形的是（ ）。A. 2,2,4 B. 3,4,5 C. 1,2,3 D. 2,3,6
2. 三角形两内角为 50°、60°，第三个角是多少度？它的外角（延长第三边）是多少度？
3. Rt△ 两直角边为 6、8，斜边是多少？
4. 等腰三角形顶角为 100°，底角是多少？
5. 填空：sin30° = ____，cos60° = ____，tan45° = ____。
6. Rt△ 中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，求 sin A、cos A。
提高中档题主战场（4 题）
7. 等腰三角形一个内角为 70°，求另外两个角（注意分类讨论）。
8. 已知 AB=CD，AB∥CD，AC 与 BD 交于 O。求证：AO=CO。（提示：证三角形全等）
9. 三角形三边为 9、12、15，是不是直角三角形？若是，哪条边对直角？
10. 某人在地面测树顶仰角 45°，人离树 10 m，树高多少？（人眼高度忽略）
冲刺冲高分（2 题）
11. 2022 山西模型在 A 点测山顶仰角 30°，向山走 100 m 到 B 点，仰角变为 45°，求山高（保留根号）。
12. 等腰 △ABC 中 AB=AC=5，BC=6，求 BC 边上的高 AD 的长。（提示：三线合一，BD=3）
答练习答案与详解
1. B。最短两边和：A 中 2+2=4 不大于 4；B 中 3+4=7>5 ✓；C 中 1+2=3；D 中 2+3=5<6。
2. 第三个角 70°；外角 110°。180−50−60=70；外角=50+60=110。
3. 10。√(36+64)=√100=10（勾股数 6-8-10）。
4. 40°。(180−100)/2=40。
5. sin30°=1/2，cos60°=1/2，tan45°=1。
6. sin A=4/5，cos A=3/5。斜边 AB=√(9+16)=5。∠A 的对边是 BC=4，邻边是 AC=3。
7. 两种情况：① 70° 是顶角：底角 (180−70)/2=55°，另两角 55°、55°；② 70° 是底角：另一底角 70°，顶角 180−70−70=40°。
8. 证明：∵AB∥CD ∴∠A=∠C（内错角），∠B=∠D。又 AB=CD，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AO=CO。
9. 是直角三角形，最长边 15 所对的角是直角。9²+12²=81+144=225=15²。
10. 树高 10 m。tan45°=树高/10=1 ⇒ 树高=10。
11. 山高 50(√3+1) m。设山高 h，B 到山脚距离 x。tan45°=h/x ⇒ x=h；tan30°=h/(x+100) ⇒ h=(h+100)/√3 ⇒ √3 h=h+100 ⇒ h=100/(√3−1)=50(√3+1)。
12. AD=4。等腰三线合一，AD⊥BC 且 D 是中点，BD=3。在 Rt△ABD 中：AD=√(AB²−BD²)=√(25−9)=√16=4。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① 三边关系：短边和 > 最长边；内角和 180°；外角=不相邻两内角和；
② 全等五判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL，SSA、AAA 不能判定；证明写全"在△和△中→三组条件→∴△≌△（判定）"；
③ 等腰：等边对等角、三线合一；"一个角"必分类讨论；
④ 勾股 a²+b²=c²，逆定理判直角；常用勾股数 3-4-5、5-12-13；
⑤ sin=对/斜、cos=邻/斜、tan=对/邻；特殊角值考前默写；
⑥ 测高应用题画两个直角三角形，给水平距离+仰角几乎都用 tan。
合上书写一遍——能答上才算真会
- "两边之和大于第三边"是由哪条基本事实推出来的？
- 三角形内角和 180° 怎么用平行线证明？
- 外角等于什么？是"不相邻"的两个内角吗？
- 全等判定有哪五种？为什么 SSA、AAA 不行？
- 证明题的"三段论"怎么写？公共边怎么处理？
- "三线合一"指的是哪三条线？为什么成立？
- 勾股定理用四个直角三角形怎么证？
- sin、cos、tan 分别是谁比谁？
- 30°、45°、60° 的 sin、cos、tan 值能默写吗？
- 测高应用题的三步是什么？给水平距离和仰角用哪个函数？