图本章知识地图 + 山西中考考情
本章知识结构（一张图看懂）：
坐标系：原点 + x 轴 + y 轴 → 四个象限（符号各不同）→ 点的对称
函数概念：一个 x → 唯一确定一个 y（竖线检验）
├─ 一次函数 y=kx+b：图象是直线；k 定升降、b 定与 y 轴交点
├─ 反比例函数 y=k/x：图象是双曲线；k=xy，定在哪个象限
└─ 二次函数 y=ax²+bx+c：图象是抛物线；a 定开口、对称轴 x=−b/2a
顶点 → 最值；与 x 轴交点 ⇔ 一元二次方程的根
贯穿思想：数形结合——看见式子就想图，看见图就读性质。这一章学透了，几何压轴题也会轻松一大截。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 对称点坐标 / 象限判断 | 中频 | 选择或填空，3 分 | ★（送分） |
| 一次函数图象与性质 | 高频 | 选择/填空，3–5 分 | ★★ |
| 反比例函数 k 的几何意义 | 高频 | 填空或解答，3–5 分 | ★★ |
| 二次函数图象与性质（顶点/对称轴/最值） | 每年必考 | 选择或填空，3 分 | ★★ |
| 二次函数综合压轴题 | 每年必考 | 解答最后一题，10–12 分 | ★★★（拉分） |
| 函数实际应用题（建模） | 高频 | 解答题，7–10 分 | ★★★ |
给中等生的话：这章看着吓人，其实分三块：前 10 分（坐标系、一次、反比例）是白送的，只要把性质记熟；二次函数压轴 12 分里，第一问「求解析式」3–4 分也是白送的。所以你的目标不是把压轴全做出来，而是把所有「能拿的分」一个不漏地拿住。最后两问做不出来很正常，别死磕，把前面检查一遍更划算。
1变量、函数与平面直角坐标系
知识点 1.1 什么叫函数——关键在「唯一确定」
讲透本源：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y。如果给 x 一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那 y 就是 x 的函数。
注意这个「唯一」——它是函数的命根子。比如「一个人的身高」是他年龄的函数吗？是，因为某个年龄身高基本确定。但「一个人的朋友」是他年龄的函数吗？不是，同一年龄你可能有好几个朋友，对应不上「唯一」。
图象上怎么检验？竖线检验法：画一条竖直的线去戳图象，如果这条线和图象最多只有一个交点，它就是函数图象；如果戳出两个交点，就不是函数。
想一想：圆 x²+y²=1 的图象是函数吗？（不是！用竖线 x=0.5 去戳，会戳到 (0.5, √0.75) 和 (0.5, −√0.75) 两个点——一个 x 对应两个 y，违反「唯一」。）
知识点 1.2 四个象限的符号——用手比一下就记住
讲透本源：平面直角坐标系里，x 轴向右为正、向左为负；y 轴向上为正、向下为负。四个象限按逆时针排：
第一象限（右上）：(+, +)——x 正、y 正；
第二象限（左上）：(−, +)——x 负、y 正；
第三象限（左下）：(−, −)——x 负、y 负；
第四象限（右下）：(+, −)——x 正、y 负。
对称规律：关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标变号（上下翻）；关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标变号（左右翻）；关于原点对称，两个坐标全变号。
对称速记：
关于 x 轴：(a, b) → (a, −b)（x 轴是横的，上下翻，y 变号）
关于 y 轴：(a, b) → (−a, b)（y 轴是竖的，左右翻，x 变号）
关于原点：(a, b) → (−a, −b)（翻两次，全变号）
【例 1.1】点 (−3, 4) 关于 y 轴、关于原点的对称点分别是什么？
关于 y 轴（左右翻，x 变号）：(−3, 4) → (3, 4)。
关于原点（全变号）：(−3, 4) → (3, −4)。
★ 易错：把「关于 y 轴」记成变纵坐标。口诀：对称轴是哪根轴，就不动那根轴上的坐标——y 轴上的点纵坐标不变，只变横坐标。
【变式 1.1】若点 (a, b) 满足 ab < 0，它在第几象限？
ab<0 说明 a、b 异号：一正一负。
(a 正 b 负) → 第四象限；(a 负 b 正) → 第二象限。在第二或第四象限。
2一次函数 y = kx + b
知识点 2.1 k 和 b 各管什么——画图讲透
讲透本源：一次函数的图象是一条直线，两个参数 k、b 各管一件事。
b 管「和 y 轴交在哪」：令 x=0，y=b，所以直线必过点 (0, b)。b>0 交在 y 轴正半轴，b<0 交在负半轴。b 叫「y 轴截距」。
k 管「直线朝哪倾斜」：k 是「斜率」。k>0 时，x 增大 y 也增大，直线从左到右往上升（像上山）；k<0 时，x 增大 y 反而减小，直线从左到右往下降（像下山）。|k| 越大，直线越陡。
为什么 k 决定升降？k 就是 x 每增加 1、y 增加的量。k=2 意味着 x 每走一步、y 走两步，而且是正两步——自然上升。k=−2 则是往回走两步，自然下降。
k>0：上升，y 随 x 增大而增大；k<0：下降。
b>0 交 y 轴正半轴，b<0 交负半轴，b=0 过原点（此时是正比例函数）。
两直线平行 ⇔ k 相等（倾斜程度一样）。
【例 2.1】一次函数过点 (0, 3) 和 (2, 7)，求解析式。
过 (0, 3) 说明和 y 轴交在 3 处 → b = 3。
再把 (2, 7) 代入 y = kx + 3：7 = 2k + 3 ⇒ 2k = 4 ⇒ k = 2。
答案：y = 2x + 3。
这就是「待定系数法」：给两个点，列两个方程，解出 k 和 b。中考求一次函数解析式 90% 用这招。
【变式 2.1·判象限】一次函数 y = −2x + 1 的图象经过哪几个象限？
k=−2<0 → 直线下降（从左上到右下）；b=1>0 → 交 y 轴正半轴。
画一下：从 y 轴正半轴出发、向右下方走 → 经过第一、二、四象限。
经验：判象限不要背表，脑子里画一条「从 (0,b) 出发、朝 k 的方向倾斜」的线，走过哪就是哪。
【变式 2.2·平行】直线过 (1, 3) 且与 y = 2x 平行，求解析式。
平行 ⇒ k 相同 → k = 2。设 y = 2x + b，代入 (1, 3)：3 = 2 + b ⇒ b = 1。y = 2x + 1。
采分点提醒：山西爱考「实际情境建模」——打车费、水电费、租商铺。固定费（起步价）就是 b，单价就是 k。比如「打车 3 公里内起步价 8 元，超出后每公里 2 元」，那车费 y = 2(x−3) + 8（x≥3）。别把起步价和单价搞反。
3反比例函数 y = k/x
知识点 3.1 为什么图象是双曲线、在哪个象限由 k 决定
讲透本源：y = k/x 变一下就是 xy = k。意思是「图象上任意一点，横纵坐标相乘都等于 k」。
为什么它不过原点、还断开两支？因为 x 不能等于 0（分母不能为 0），y 也永远不等于 0。所以图象永远不碰坐标轴，被 y 轴隔成左右两支。
为什么在哪个象限由 k 的符号决定？k>0 时，xy=正数，说明 x、y 同号——要么都正（第一象限）、要么都负（第三象限）。所以 k>0 图象在一、三象限。k<0 时 x、y 异号，图象在二、四象限。
k = xy（图象上任一点横纵坐标直接相乘）。
k>0：在第一、三象限；k<0：在第二、四象限。
k 的几何意义：图象上一点向两轴作垂线，围成的矩形面积 = |k|；连原点成三角形，面积 = |k|/2。
【例 3.1】反比例函数 y = k/x 的图象过点 (2, 3)，求 k，并判断图象在哪些象限。
k = xy = 2×3 = 6。
k = 6 > 0 → 图象在第一、三象限。
经验：给一个点求 k，就是横纵坐标相乘，1 秒出答案，不用列方程。
【变式 3.1·面积】反比例函数图象上有一点 P，过 P 向两轴作垂线，围成矩形面积为 8，求 |k|。
矩形面积 = |k| = 8。
★ 易错：题目改成「三角形面积」就要除以 2——三角形面积 = |k|/2。看清题目问的是矩形还是三角形。
【变式 3.2】过点 (−2, 4) 的反比例函数，k = ? 在第几象限？
k = (−2)×4 = −8。k<0 → 在第二、四象限。
命题人视角：山西特别爱考 k 的几何意义（矩形/三角形面积）。还喜欢结合物理：压力一定时压强与受力面积成反比，电压一定时电流与电阻成反比——外壳是物理，考点永远是 xy=k。
4二次函数 y = ax² + bx + c（中考压轴核心）
知识点 4.1 a、对称轴、顶点——抛物线的三要素
讲透本源：二次函数图象是抛物线，像一条 U 形（或倒 U 形）的曲线。
a 管开口方向：a>0 开口向上（像碗，有最低点）；a<0 开口向下（像伞，有最高点）。|a| 越大开口越窄。
为什么对称轴是 x = −b/2a？把一般式配方：y = a(x + b/2a)² + (4ac−b²)/4a。括号里是 (x − h)² 的样子，当 x = h = −b/2a 时，平方那项等于 0，y 取到最值。所以这条竖线 x = −b/2a 就是抛物线的「对称轴」，顶点正好落在它上面。
顶点坐标：(−b/2a, (4ac−b²)/4a)。a>0 时顶点是最低点（最小值），a<0 时顶点是最高点（最大值）。
对称轴：x = −b / (2a)
顶点：( −b/2a , (4ac−b²)/4a )
a>0 开口向上，有最小值；a<0 开口向下，有最大值。
抛物线与 x 轴交点个数 ⇔ 判别式 Δ = b²−4ac：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点（相切），Δ<0 没交点。
【例 4.1】求 y = −x² + 2x + 3 的对称轴、顶点坐标，并说出最值。
a=−1，b=2，c=3。
对称轴：x = −b/(2a) = −2/(2×(−1)) = −2/(−2) = x = 1。
顶点纵坐标：把 x=1 代回：y = −1 + 2 + 3 = 4。顶点 (1, 4)。
a=−1<0，开口向下，顶点是最高点 → y 有最大值 4。
【变式 4.1·求交点】接上题，抛物线与 x 轴的交点坐标是什么？
与 x 轴相交即 y=0：−x² + 2x + 3 = 0 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x−3)(x+1) = 0。
x = 3 或 x = −1。交点为 (3, 0) 和 (−1, 0)。
理解：求抛物线与 x 轴交点，本质就是解一元二次方程——这就是两章知识的连接点。
【变式 4.2·判交点个数】y = x² − 2x + 3 与 x 轴有几个交点？
Δ = b²−4ac = 4 − 12 = −8 < 0。没有交点（整条抛物线都在 x 轴上方）。
知识点 4.2 三种解析式——怎么互化、怎么选
同一个抛物线可以写成三种样子，给什么条件就用什么形式，最省事：
| 形式 | 样子 | 什么时候用最快 |
|---|
| 一般式 | y = ax²+bx+c | 已知任意三个点，代入列三元方程组 |
| 顶点式 | y = a(x−h)²+k | 已知顶点 (h,k)——直接写，只剩求 a |
| 交点式 | y = a(x−x₁)(x−x₂) | 已知与 x 轴两交点 (x₁,0)(x₂,0) |
压轴题第一问的抢分套路：题目给了顶点，就别硬列三元方程组——设顶点式 y=a(x−h)²+k，再代一个别的点求 a，两步搞定。这 3–4 分是白送的，一定要拿。
【例 4.2】已知抛物线顶点为 (1, −4)，且过点 (0, −3)，求解析式。
设顶点式：y = a(x−1)² − 4。
代入 (0, −3)：−3 = a(0−1)² − 4 = a − 4 ⇒ a = 1。
展开成一般式：y = (x−1)² − 4 = x² − 2x + 1 − 4 = x² − 2x − 3。
采分点：最后最好展开成一般式写在答卷上，避免阅卷老师还要自己展开核对。
5函数应用题——看图先看横纵轴
知识点 5.1 拿到函数图象题，第一眼看什么
中等生最怕「给一段图让你说实际意义」。按这个顺序读，就不会乱：
① 先看横轴、纵轴各代表什么物理量（时间？路程？高度？钱？单位是什么？）；
② 看起点、终点、最高点、最低点的坐标；
③ 看每一段是上升、下降还是水平（水平 = y 不变，往往是「停留」）；
④ 再把每一段翻译成大白话。
最常见的读图错误：看到一条斜向下的直线，以为是「人在倒退」。先看纵轴是什么——如果纵轴是「离学校的距离」，斜向下可能只是「放学走回家」，不是倒退。不先看轴就读图，等于蒙。
【例 5.1·山西特色】2025 山西中考仿青蛙机器人跳跃路线
题目大意：把机器人运动路线抽象成抛物线，起跳点 O 为原点，落地点 M 在 x 轴上，最高点 N 距地面 60 cm，OM = 160 cm。求这段抛物线解析式。
分析：最高点 (顶点) 距地面 60 cm，且在 OM 中点正上方（抛物线对称），所以顶点横坐标 = 160/2 = 80，顶点为 (80, 60)。
设顶点式：y = a(x−80)² + 60。
代入起跳点 O(0, 0)：0 = a·6400 + 60 ⇒ a = −60/6400 = −3/320。
解析式：y = −(3/320)(x−80)² + 60（0≤x≤160）。
经验：山西爱套「机器人、青铜、晋商、五台山」外壳，剥掉外壳就是「给顶点和一个点求二次函数」。看到抛物线拱桥、投篮、喷水、跳跃，第一反应：设顶点式！
技做题技巧专题（考试时怎么抢时间、抢分）
技巧 ①：给图象判断 k、b 正负——30 秒画箭头
一次函数图，先看直线朝哪斜：左下到右上 → k>0；左上到右下 → k<0。再看和 y 轴交在原点上方还是下方：上方 b>0，下方 b<0。两步定四个符号。
技巧 ②：求二次函数解析式——先挑形式
- 题目给顶点 (h,k) → 设 y=a(x−h)²+k，代一个点求 a。
- 题目给与 x 轴两交点 → 设 y=a(x−x₁)(x−x₂)。
- 只给三个散点 → 才用一般式列方程组。
这一步选对形式，能省一半时间。压轴第一问基本白送。
技巧 ③：反比例面积题——看清单还是三角形
图象上一点向两轴作垂线，围出的矩形面积 = |k|；连原点成的三角形面积 = |k|/2。读题时先圈出是矩形还是三角形，再决定除不除 2。
技巧 ④：二次函数最值题——先看 a 的符号
开口向上（a>0）才有最小值，开口向下（a<0）才有最大值。求最值先算对称轴 x=−b/2a，再代回去。注意题目给的 x 范围——如果顶点不在范围内，最值在端点取到。
技巧 ⑤：压轴题的时间策略
压轴 12 分，第一问（求解析式）3–4 分必拿；第二问能写几步写几步（找关系、列坐标都有分）；第三问读不懂就放下，回头检查前面的选择填空。中等生把前面 100 分稳到 90 分，比死磕压轴第三问划算得多。
经验级总结（带过学生的真话）：这章丢分最多的是：①反比例面积忘了除 2（三角形）；②判一次函数经过哪个象限，画都不画凭感觉写；③二次函数用一般式硬列三元方程组，列到一半算错。记住：给顶点就用顶点式，给交点就用交点式，别上来就硬算。还有，山西函数题爱套本土情境（机器人、古建筑、晋商票号），别被长题干吓住——考点永远是那一个。
真山西中考真题精讲（近 5 年精选）
2025 山西中考二次函数实际应用（仿青蛙机器人）
题目：见例 5.1。
答案：y = −(3/320)(x−80)² + 60（0≤x≤160）。
评分点：找对顶点 (80,60) 2 分，设顶点式 1 分，代 O 点求 a 2 分。
★ 陷阱：顶点横坐标不是 60（那是高度），是水平中点 80。把「最高点」的横纵坐标搞混是最常见的错。
2024 山西中考二次函数综合（压轴第一问）
题目：抛物线与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C(0, −3)，求抛物线解析式。
思路：若给了顶点或与 x 轴交点，对应设顶点式或交点式；若只给三点，列三元方程组。第一问 3–4 分，规范代入即可拿满。
采分点：写「设抛物线解析式为 y=ax²+bx+c」并代入每一个点，过程分比结果分多。
2022 山西中考反比例函数 k 的几何意义
题目：反比例函数图象上一点 P，向两轴作垂线，与坐标轴围成矩形面积为 4，求 k。
答案：|k| = 4，k = ±4（若题目指明图象在第一象限，则 k=4）。
★ 陷阱：面积是正的，但 k 可正可负。题目没说在哪个象限时，k 有两个值；说了在一、三象限才取正。
模拟一次函数图象判断（选择）
题目：一次函数 y = kx + b 的图象不经过第二象限，则（ ）。
A. k>0, b>0 B. k>0, b≤0 C. k<0, b>0 D. k<0, b<0
解析：不经过第二象限（左上那块）。要避开左上，直线必须上升（k>0）才不往左上方跑；而且和 y 轴交点不能在正半轴（否则必过第二象限），所以 b≤0。答案 B。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. 点 (2, −5) 关于 x 轴对称的点是 ______；关于原点对称的点是 ______。
2. 反比例函数 y = k/x 过点 (−2, 4)，则 k = ______，图象在第 ______ 象限。
3. 一次函数 y = 3x − 2 中，k = ____，b = ____，图象从左到右上升还是下降？______
4. 抛物线 y = x² 的开口向 ____，顶点坐标是 ______。
5. 点 P(3, 2) 在反比例函数图象上，则 k = ____；P 到两轴围成矩形面积 = ____。
6. 平面直角坐标系中，点 (−1, −2) 在第 ______ 象限。
提高中档题主战场（4 题）
7. 一次函数过点 (0, −2) 和 (3, 4)，求它的解析式。
8. 求抛物线 y = x² − 4x + 3 的对称轴、顶点坐标，以及它与 x 轴的交点。
9. 一次函数 y = −x + 2 的图象经过哪几个象限？
10. 抛物线顶点为 (1, −4)，且过点 (0, −3)，求它的解析式（写成一般式）。
冲刺冲高分（2 题）
11. 某抛物线形拱桥，跨度 12 m（两端在水面上），最高处离水面 4 m。以水面为 x 轴、拱桥中点为原点建立坐标系，求拱桥轮廓线的解析式。
12. 已知二次函数 y = x² − 2x − 3，求：(1) 它与 x 轴的交点；(2) 当 x 取何值时 y 随 x 增大而增大？
答练习答案与详解
1. (2, 5)；(−2, 5)。关于 x 轴只变纵坐标；关于原点两个坐标全变号。
2. k = −8；第二、四象限。k = (−2)×4 = −8 < 0。
3. k=3，b=−2，上升。k=3>0，直线从左到右上升。
4. 开口向上；顶点 (0, 0)。a=1>0。
5. k = 6；矩形面积 = 6。k = xy = 3×2 = 6，矩形面积 = |k| = 6。
6. 第三象限。横纵坐标都为负。
7. y = 2x − 2。过 (0,−2) ⇒ b=−2；过 (3,4)：3k−2=4 ⇒ k=2。
8. 对称轴 x=2，顶点 (2, −1)，交点 (1,0) 和 (3,0)。
对称轴 x = −b/(2a) = 4/2 = 2；代入 y = 4−8+3 = −1。与 x 轴相交：x²−4x+3=0 ⇒ (x−1)(x−3)=0。
9. 第一、二、四象限。k=−1<0 直线下降，b=2>0 交 y 轴正半轴。画一下：从 y 轴正半轴向右下走，过一、二、四。
10. y = x² − 2x − 3。设顶点式 y=a(x−1)²−4；过 (0,−3)：a−4=−3 ⇒ a=1；展开 y=(x−1)²−4=x²−2x−3。
11. y = −(1/9)x² + 4（−6≤x≤6）。顶点在原点正上方 (0, 4)；跨度 12，两端点为 (−6,0)、(6,0)。设 y=ax²+4，代入 (6,0)：36a+4=0 ⇒ a=−1/9。
12. (1) (3,0) 和 (−1,0)；(2) x>1 时 y 随 x 增大而增大。
(1) 令 y=0：x²−2x−3=0 ⇒ (x−3)(x+1)=0。
(2) 对称轴 x = −(−2)/(2×1) = 1；a=1>0 开口向上，对称轴右边 y 随 x 增大而增大，即 x>1。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① 函数的核心是「一个 x 对应唯一 y」；图象用竖线检验；
② 象限符号：一(+,+)、二(−,+)、三(−,−)、四(+,−)；对称点：x 轴变纵、y 轴变横、原点全变；
③ 一次函数 y=kx+b：k>0 上升、k<0 下降；b 是与 y 轴交点的纵坐标；
④ 反比例 y=k/x：k=xy，k>0 在一、三象限；矩形面积 |k|、三角形 |k|/2；
⑤ 二次函数：a 定开口、对称轴 x=−b/2a、顶点 (对称轴, 最值)；与 x 轴交点 ⇔ 方程的根；
⑥ 三种解析式：给顶点用顶点式、给交点用交点式、散点才用一般式；
⑦ 读函数图先看横纵轴代表什么，再看起点、最高点、每段升降。
合上书写一遍——能答上才算真会
- 为什么说函数关系必须满足「唯一确定」？竖线检验是怎么回事？
- 四个象限的横纵坐标符号分别是什么？
- 关于 y 轴对称的点，哪个坐标变号？关于原点呢？
- 一次函数里 k 和 b 分别决定直线的什么？
- 反比例函数 y=k/x 的图象为什么不过原点？k 的正负决定图象在哪些象限？
- 反比例图象上一点与两轴围成的矩形、三角形面积各是多少？
- 二次函数对称轴公式是什么？顶点怎么求？
- 抛物线与 x 轴交点个数由什么决定？和一元二次方程什么关系？
- 已知顶点和一个点，设哪种解析式最快？
- 拿到一个函数应用题的图，第一步先看什么？