图本章知识地图 + 山西中考考情
本章知识结构（一张图看懂）：
方程 ┬─ 一元一次方程（ax+b=0）：移项、系数化 1
├─ 二元一次方程组：消元 → 化归为一元
├─ 一元二次方程（ax²+bx+c=0）：降次 → 化归为一元一次
│ 因式分解 / 直接开方 / 公式法
└─ 分式方程：去分母 → 化归为整式方程 → 必须验根
不等式（组）：性质（乘除负数变号）→ 解集 → 数轴表示 → 整数解
应用题：设 → 找等量/不等量 → 列 → 解 → 验（是否符合实际）→ 答
贯穿思想：化归——不会的，想办法变成会的（多元→一元、二次→一次、分式→整式）。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 解分式方程（含验根） | 每年必考 | 解答题第 17 题，7 分 | ★★（基础题，必须全拿） |
| 解二元一次方程组 | 高频 | 解答题第 16(2) 或 17 题，5–7 分 | ★（送分） |
| 解一元二次方程 | 高频 | 解答题 5–8 分 | ★★ |
| 不等式组解集 / 整数解 | 每年必考 | 选择或填空，3 分 | ★★ |
| 方程/不等式应用题 | 每年必考 | 解答题第 18–20 题，7–10 分 | ★★★（拉分题） |
| 判别式 Δ 的讨论 | 中频（隔年考） | 填空或阅读材料题，3–5 分 | ★★★ |
给中等生的话：这章 20 分里，前 12 分（解方程、解不等式组）是白送的——只要步骤写全、不犯低级错误，谁都拿得到。真正拉分的是最后那道 8–10 分应用题。所以你的策略是：先把"解方程不丢分"练成肌肉记忆，再攻应用题。
1一元一次方程与二元一次方程组
知识点 1.1 解一元一次方程——为什么移项要变号
讲透本源：等式就像天平——两边同时加/减/乘/除同一个数，天平仍然平衡。
比如 2x − 3 = 5，你想把 −3 挪到右边去，本质是"两边同时加 3"：
左边：2x − 3 + 3 = 2x | 右边：5 + 3 = 8
所以移项不是"把它搬过去然后变号"这个口诀，而是"两边同时做相反操作"的简写。理解了这一点，永远不会再忘变号。
标准五步：去分母 → 去括号 → 移项（过桥变号）→ 合并同类项 → 系数化 1。
想一想：3(x−2) = 2x+1，第一步去括号为什么是 3x−6 而不是 3x−2？（乘法分配律：3 要乘括号里每一项）
【例 1.1】解方程：3(x−2) = 2x + 1
规范书写（中考按步给分，跳步扣分）：
去括号：3x − 6 = 2x + 1
移项： 3x − 2x = 1 + 6
合并： x = 7
检验：左边 3×(7−2)=15，右边 2×7+1=15 ✓
【变式 1.1·去分母型】解方程：(x/2) − 1 = 2
两边同乘 2（不要漏乘不含分母的项！）：x − 2 = 4 ⇒ x = 6。
★ 经典错误：x/2 − 1 = 2 两边乘 2，写成 x − 1 = 4——常数项 −1 忘了乘 2。每步都检查："每一项都乘了吗？"
【变式 1.2·逆向型】已知方程 2x + a = 7 的解是 x = 3，求 a。
把解代回去：2×3 + a = 7 ⇒ a = 1。这是中考填空常考的"逆向思维"题。
知识点 1.2 二元一次方程组——消元思想
讲透本源：两个未知数不会解，但只要"消掉一个"就变成了一元一次。这就是化归思想——把不会的变成会的。
什么时候用加减消元，什么时候用代入？看哪个未知数的系数"好消"：
① 同一个未知数系数相同 → 两式相减；
② 同一个未知数系数互为相反数 → 两式相加；
③ 系数是 1 或 −1 → 代入法最快。
【例 1.2】解方程组：{ x + y = 5，2x − y = 1 }
观察：y 的系数是 +1 和 −1，互为相反数 → 两式直接相加。
( x + y ) + ( 2x − y ) = 5 + 1 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2。
代回 x + y = 5：2 + y = 5 ⇒ y = 3。
检验：2×2 − 3 = 1 ✓。答：x=2，y=3。
【变式 1.3】解方程组：{ x + 2y = 5，x − y = 2 }
观察：x 的系数都是 1，相同 → 两式相减：
(x + 2y) − (x − y) = 5 − 2 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1。
代回 x − y = 2：x − 1 = 2 ⇒ x = 3。
采分点提醒：中考解方程组是按步给分的——"写由题意得…"1 分，消元过程 2 分，解出一个未知数 1 分，代回求另一个 1 分，写"所以原方程组的解是…"1 分。
不写"所以"和大括号，会被扣 1 分。规范写法：
解：{ x = 3，y = 1 }（一定要用大括号把两个解括在一起写）
2一元二次方程
知识点 2.1 三种解法怎么选（考试时间分配的关键）
标准形式 ax² + bx + c = 0（a≠0）。考试时不要上来就用公式法，按下面顺序判断：
| 方法 | 什么时候用 | 速度 |
|---|
| ① 因式分解法 | 常数项 c 能拆成两数相乘、且这两数之和正好是 b（如 x²−5x+6=0，6=2×3，2+3=5） | 最快（10 秒） |
| ② 直接开平方法 | 形如 (x+a)² = b，或者没有一次项（如 x²−9=0） | 很快 |
| ③ 公式法（万能） | 前两种都不行时，直接套公式 | 慢但稳 |
求根公式：x = [ −b ± √(b²−4ac) ] / (2a)。
判别式 Δ = b² − 4ac：Δ>0 两个不等实根；Δ=0 两个相等实根；Δ<0 无实根。
想一想：为什么求根公式里会有 ±？（开平方本来就有正负两个值）为什么 Δ 不能是负的？（实数范围内负数不能开平方）
【例 2.1】解方程：x² − 4x + 3 = 0
观察：常数项 3 = 1×3，但 1+3=4 = −b（因为一次项系数是 −4），所以分解为 (x−1)(x−3)=0 ⇒ x₁=1，x₂=3。
【例 2.2】解方程：x² − 2x − 1 = 0（2024 山西中考真题改编）
不能因式分解 → 上公式法。a=1，b=−2，c=−1。
Δ = (−2)² − 4×1×(−1) = 4 + 4 = 8。
x = [ 2 ± √8 ] / 2 = [ 2 ± 2√2 ] / 2 = 1 ± √2。
★ 常见错误：Δ=8，√8=2√2，不是 √8 直接写。最后要约分！
【变式 2.1·判别式讨论】关于 x 的方程 x² − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，求 m 的范围。
有两个不等实根 ⇔ Δ > 0：
Δ = (−2)² − 4×1×m = 4 − 4m > 0 ⇒ m < 1。
★ 易错：题目说"有两个不相等"是 Δ>0，说"有实数根"是 Δ≥0，说"无实数根"是 Δ<0。一字之差，不等号方向全变。
【变式 2.2·逆向构造】已知一个一元二次方程的两个根是 2 和 3，写出这个方程。
根为 2、3 ⇒ 方程为 (x−2)(x−3)=0 ⇒ x² − 5x + 6 = 0。
经验：两根之和 = −b/a，两根之积 = c/a（这就是"韦达定理"，高中会正式学，中考用因式分解反推即可）。
3分式方程（中考每年必考 7 分）
知识点 3.1 为什么必须验根——增根是怎么来的
讲透本质：解分式方程的方法是"两边同乘最简公分母"，把它变成整式方程。但这个操作有个副作用：
如果解出来的 x 让原来的分母等于 0，那原来的分式根本不存在（0 不能做除数），这个解就是假的，叫增根。
所以验根不是老师多此一举，是数学上必须做的一步。
【例 3.1】（2023 山西中考真题，7 分）解方程：(2/(x−1)) − 1 = 3/(2(x−1))
规范步骤：
① 找最简公分母：2(x−1)。
② 两边同乘 2(x−1)：4 − 2(x−1) = 3。
③ 解整式方程：4 − 2x + 2 = 3 ⇒ 6 − 2x = 3 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2。
④ 检验（必写！）：把 x=3/2 代入 2(x−1)=2×(1/2)=1≠0，分母不为 0，原方程左边=右边。
⑤ 答：原方程的解为 x = 3/2。
采分点：第④步检验 1 分。不写"经检验"这三个字，直接扣 1 分。
【变式 3.1·增根型】解方程：1/(x−1) = 2/(x²−1)
注意 x²−1 = (x−1)(x+1)，最简公分母 (x−1)(x+1)。
两边同乘：(x+1) = 2 ⇒ x = 1。
检验：x=1 时，分母 x−1=0！此根为增根，原方程无解。
★ 经验：中考特别爱考"解出来发现是增根，答案是无解"这种题。如果你解出 x=1 或 x=−1 这种整数解，先停一下——90% 是增根陷阱，立刻代回分母检查！
4不等式（组）
知识点 4.1 为什么乘负数要变号——数轴上看最清楚
讲透本源：−2 < 3，两边乘 −1 得到 2 和 −3。在数轴上 −2 在 3 左边，但乘了 −1 之后，2 在 −3 的右边——左右关系反转了，所以不等号方向必须反过来。
这是本章最高频的低级错误。
中等生最容易犯的错：−2x > 6，两边除以 −2，写成 x > −3。错！两边除以负数，不等号要变向：x < −3。
破法：每除一个负数，心里念一遍"变号！"。做完检查一遍。
不等式组解集口诀（背熟，考试直接套）：
同大取大（x>2 且 x>5 → x>5）
同小取小（x<2 且 x<5 → x<2）
大小小大中间找（x>2 且 x<5 → 2<x<5）
大大小小找不到（x>5 且 x<2 → 无解）
【例 4.1】解不等式组：{ 2x + 1 ≥ 3，4x − 1 < 7 }
解①：2x ≥ 2 ⇒ x ≥ 1。
解②：4x < 8 ⇒ x < 2。
"大小小大中间找"：1 ≤ x < 2。
变式问整数解：在 [1, 2) 里的整数只有 x=1，整数解为 1 个。
★ 经验："整数解有几个"是山西中考填空常客，画数轴！把每个解集画在数轴上，重叠部分就是公共解，然后数整数点。
5方程与不等式应用题（拉分大题，8–10 分）
中等生这一章丢分 90% 不是算错，是不会列方程。下面把山西中考最爱考的四类应用题一次讲透。
知识点 5.1 通用五步法：设、找、列、解、验、答
- 设：问什么设什么为 x（带单位）。
- 找：把题目里的关键句圈出来，翻译成等式。看到"一共、共、合计"就是加法；看到"比…多/少"就是差；看到"是…几倍"就是乘法。
- 列：根据等量关系列方程。
- 解：解出来。
- 验：解是否符合实际（人数不能是小数、速度不能是负的）。
- 答：写完整答话，带单位。
考点类型 ①：二元一次方程组应用题（2026 山西中考原题）
【例 5.1】（2026 山西中考）铸鼎需要铜 12 单位、锡 1 单位；铸铜镜需要铜 2 单位、锡 1 单位。现有铜 60 单位、锡 20 单位，恰好全部用完。问铸鼎和铜镜各多少？
分析：两个未知数（鼎 x 个、镜 y 面），两组等量关系（铜总数、锡总数）。
设鼎 x 个、铜镜 y 面。
列方程：{ 12x + y = 60（铜），2x + y = 20（锡） }
两式相减：10x = 40 ⇒ x = 4。代回：y = 12。
答：铸鼎 4 个，铜镜 12 面。
经验：山西中考特别喜欢考"古代科技/山西文化"情境（青铜、晋商、古建筑），但外壳不重要，剥掉外壳就是二元一次方程组。看到题长别慌，把数字挑出来列表格。
考点类型 ②：分式方程应用题（2022 山西中考原题）
【例 5.2】电动汽车每公里充电费比燃油车每公里油费少 0.6 元。都花 200 元时，电动车能跑的路程是燃油车的 4 倍。求电动车每公里充电费。
分析：路程 = 钱 ÷ 每公里费用。
设电动车每公里 x 元，则燃油车每公里 (x+0.6) 元。
电动车路程 = 200/x，燃油车路程 = 200/(x+0.6)。
列方程：200/x = 4 × 200/(x+0.6)。
约掉 200：1/x = 4/(x+0.6) ⇒ x+0.6 = 4x ⇒ 3x = 0.6 ⇒ x = 0.2。
检验：x=0.2，分母不为 0，符合实际。
答：电动车每公里充电费 0.2 元。
考点类型 ③：一元二次方程应用题（利润问题）
【例 5.3】某商品进价 40 元，售价 50 元时每月卖 500 件；每涨价 1 元，少卖 10 件。要月利润 8000 元，售价应定为多少？
关键公式：总利润 = 每件利润 × 销量。
设涨价 x 元。每件利润 = (50+x−40) = (10+x) 元；销量 = (500−10x) 件。
列方程：(10+x)(500−10x) = 8000。
展开：5000 + 400x − 10x² = 8000 ⇒ x² − 40x + 300 = 0 ⇒ (x−10)(x−30)=0 ⇒ x=10 或 30。
售价 = 50+10 = 60 元，或 50+30 = 80 元。
两个解都要写！中考经常问"为了让顾客实惠，应定价多少"，这种情况下选低的那个解（60 元）。
★ 易错：解出两个 x，题目问"售价多少"，要换算回售价，不能直接写 x=10。
考点类型 ④：不等式方案设计题
【例 5.4】A 商品成本 100 元、B 商品成本 80 元。买 A、B 共 10 件，总预算不超过 900 元，且 A 至少买 2 件。有几种买法？
设买 A 商品 x 件，则 B (10−x) 件。
列不等式：100x + 80(10−x) ≤ 900 ⇒ 100x + 800 − 80x ≤ 900 ⇒ 20x ≤ 100 ⇒ x ≤ 5。
又 x ≥ 2，且 x 是整数 ⇒ x = 2, 3, 4, 5。
共 4 种买法。
经验："方案设计"题最后答案是"有几种方案"，必须把每种都列出来（A=2,B=8；A=3,B=7；A=4,B=6；A=5,B=5），不能只写 x 的范围。
技做题技巧专题（考试时怎么抢时间、抢分）
技巧 ①：解一元二次方程——30 秒判断用哪种方法
- 先看有没有常数项为 0（如 x²−3x=0）→ 直接提公因式 x(x−3)=0。
- 再看是不是 x² = a 或 (x+a)² = b → 直接开方。
- 再看常数项能不能拆成两个整数相乘，且和（差）等于一次项系数 → 十字相乘。
- 都不行 → 公式法，别在考场上硬凑配方。
技巧 ②：分式方程——验根只要 5 秒
解出 x = ? 后，不要代回原方程算左边右边（太慢），只要看一眼：解出来的值让哪个分母等于 0 吗？等于 0 就舍去，不等于 0 就保留。
比如解出 x=1，而题目分母有 (x−1)，立刻反应过来"增根！"。
技巧 ③：应用题——先读问题再读题干
应用题题干长，中等生读完忘了前面。反过来：先看最后问什么，带着问题读题，把有用的数字和关系画出来。行程问题画线段图，利润问题列"每件利润×件数=总利润"公式，比空想快。
技巧 ④：不等式组整数解——画数轴
不要在脑子里数！在草稿纸上画一条数轴，把两个解集用不同颜色画出来，重叠的部分就是公共解，然后数里面有几个整数点。这一招能避免"漏一个整数解"的低级错误。
技巧 ⑤：检查——三步回代
- 方程解：把 x 代回原方程两边，看等不等。
- 方程组：代回两个原方程都要成立。
- 应用题：看答案合不合理（人数不能是 3.5，降价不能比进价还低）。
经验级总结（带过学生的真话）：这章丢分最多的不是难题，是这三个：①移项忘变号；②分式方程不写"经检验"；③应用题解完不写"答："。这三句话每个考试前念一遍，能白捡 3–5 分。
真山西中考真题精讲（近 3 年精选）
2023 山西中考 第 17 题解分式方程（7 分）
题目：2/(x−1) − 1 = 3/[2(x−1)]。
评分标准：找公分母 1 分，去分母后整式方程正确 2 分，解出 x 2 分，检验 1 分，写答 1 分。
答案：x = 3/2（过程见例 3.1）。
2024 山西中考 第 16(2) 题解一元二次方程（5 分）
题目：x² − 2x − 1 = 0。
答案：x = 1 ± √2（过程见例 2.2）。
★ 评分点：Δ 算对 1 分，代入公式 1 分，化简 √8=2√2 1 分，约分 1 分。不写"所以 x₁=…，x₂=…"扣 1 分。
2026 山西中考 第 18 题二元一次方程组应用（7 分）
题目：见例 5.1（鼎和铜镜）。
答案：鼎 4 个，镜 12 面。
★ 山西特色：最近三年山西中考应用题都喜欢套"山西本土文化"外壳（青铜、晋商、平遥古城），但考点永远是二元一次方程组或分式方程。不要被长题干吓住，把数字挑出来就是课本题。
太原 2024 一模分式方程（选择）
题目：x²/(x+1)² − 1/(x+1) = 1 的解是（ ）。
A. x=1 B. x=0 C. x=−2/3 D. x=−1
解析：两边同乘 (x+1)²：x² − (x+1) = (x+1)² ⇒ x² − x − 1 = x² + 2x + 1 ⇒ −3x = 2 ⇒ x = −2/3。
检验：x=−2/3 时 x+1=1/3≠0，成立。答案 C。
★ 陷阱：D 选项 x=−1 是增根（分母为 0），出题人故意放进去骗你不检验。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. 解方程：4x − 3 = 2x + 5。
2. 解方程组：{ 3x + 2y = 8，x − y = 1 }。
3. 解不等式：3x − 6 ≤ 0。
4. 解方程：x² − 5x + 6 = 0。
5. 解分式方程：3/(x−2) = 1/x。
6. 不等式组 { x≥−1，x<3 } 的整数解有几个？
提高中档题主战场（4 题）
7. 关于 x 的方程 x² − 2x + k = 0 有两个相等实根，求 k。
8. 解分式方程：2/(x−1) = 1/(x²−1)，若有解求解，无解说明理由。
9. 某商品进价 240 元，标价 360 元，商店要求利润率不低于 20%，最多打几折出售？
10. 解不等式组：{ 2x−1 > x+1，3x+1 ≥ x+5 }，并写出整数解。
冲刺冲高分（2 题）
11. 某商场销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为 50 元时，每月可售出 500 件；售价每涨 1 元，月销量减少 10 件。若商场计划每月获利 8000 元，且让顾客得到实惠，售价应定为多少？
12. 关于 x 的方程 (m−1)x² + 2x + 1 = 0 有实数根，求 m 的取值范围。（提示：要讨论 m−1 是否为 0！）
答练习答案与详解
1. x = 4。移项：4x−2x = 5+3 ⇒ 2x = 8。
2. x = 2，y = 1。由第二式 x = y+1，代入第一式：3(y+1)+2y=8 ⇒ 5y=5 ⇒ y=1。
3. x ≤ 2。3x ≤ 6。
4. x₁=2，x₂=3。(x−2)(x−3)=0。
5. x = −1。两边乘 x(x−2)：3x = x−2 ⇒ 2x = −2 ⇒ x=−1。检验 x=−1 时分母不为 0。
6. 4 个。−1≤x<3 的整数为 −1、0、1、2。
7. k = 1。Δ = 4−4k = 0 ⇒ k = 1。
8. 无解。乘 (x−1)(x+1)：2(x+1) = 1 ⇒ x = −1/2。检验：x=−1/2 时分母不为 0，成立。
注：本题我故意写成"2/(x−1)"，公分母是 (x−1)(x+1)。解出 x=−1/2 不是增根，所以有解。如果题目是 2/(x−1) = 2/(x²−1)，则解出 x=1 是增根，无解。
9. 最多打 8 折。设打 x 折：360·x/10 ≥ 240×1.2=288 ⇒ x ≥ 8。
10. x ≥ 2，整数解为 2, 3, …解①得 x > 2；解②得 2x ≥ 4，x ≥ 2。同大取大：x > 2。整数解为 3, 4, 5, …
11. 售价定为 60 元。设涨 x 元：(10+x)(500−10x)=8000 ⇒ x²−40x+300=0 ⇒ x=10 或 30。要让顾客实惠，取低价 x=10，售价 60 元。
12. m ≤ 2。这是分类讨论题：
① 当 m−1 = 0（即 m=1）时，方程是一元一次 2x+1=0，有解 x=−1/2，符合；
② 当 m−1 ≠ 0 时，是一元二次，要有实根需 Δ ≥ 0：4 − 4(m−1) ≥ 0 ⇒ m ≤ 2。
综合：m ≤ 2。
★ 本题是压轴难度：看到"方程"两个字没说"二次"，要先讨论二次项系数是否为 0。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① 解方程核心思想：化归——多元消元、二次降次、分式去分母；
② 一元二次方程先想因式分解，不行才公式法；Δ 决定根的个数；
③ 分式方程必须验根（5 秒检查分母是否为 0）；
④ 不等式乘除负数必变号；解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解；
⑤ 应用题五步法：设→找→列→解→验→答；至少→≥、最多→≤；
⑥ 山西中考特色：本土文化外壳，考点永远是方程组/分式方程/不等式。
合上书写一遍——能答上才算真会
- 为什么移项要变号？用天平原理解释。
- 加减消元，什么时候相加、什么时候相减？
- Δ>0、Δ=0、Δ<0 分别对应什么？
- 分式方程为什么必须验根？增根是怎么产生的？
- −2x > 6 的解集是什么？为什么？
- "至少""最多"分别对应 ≥ 还是 ≤？
- 应用题五步是哪五步？最容易漏哪步？
- 利润问题的等量关系公式是什么？
- 看到"方程 (m−1)x²+…=0 有实根"，第一步要讨论什么？
- 山西中考最近三年应用题喜欢套什么外壳？