图本章知识地图 + 山西中考考情
本章知识结构（一张图看懂）：
实数 ┬─ 有理数（整数 + 分数，都能写成两个整数之比）
├─ 无理数（无限不循环小数，如 π、√2）
├─ 相反数 / 绝对值 / 倒数 → 数轴三要素
├─ 科学记数法 a×10ⁿ（1≤|a|<10）
└─ 混合运算（乘方·开方·零指数·负指数·绝对值）
代数式 ┬─ 整式：同类项合并 → 幂的四条法则 → 乘法公式
├─ 因式分解（整式乘法的逆运算）：一提二套
├─ 分式：分母≠0 → 约分通分 → 化简求值
└─ 二次根式：√a 要求 a≥0 → 化最简 → 合并
贯穿思想：本章所有「法则」都不是老师拍脑袋规定的——它们背后都是乘法的意义或几何图形。理解了为什么，就不用死记硬背。
山西近 5 年怎么考（2021–2025）
| 考点 | 出现频率 | 题型与分值 | 难度 |
|---|
| 实数混合运算 | 每年必考 | 解答第 16(1) 题，5 分 | ★（送分，必须全拿） |
| 科学记数法 | 每年必考 | 选择第 3 题左右，3 分 | ★（白送） |
| 幂的运算 / 乘法公式判断 | 高频 | 选择或填空，3 分 | ★★ |
| 分式化简求值 | 每年必考 | 解答第 16(2) 或 17 题，6–8 分 | ★★（步骤分） |
| 因式分解 | 中频（隔年考） | 填空，3 分 | ★★ |
| 二次根式化简 / 估值 | 中频 | 选择或填空，3 分 | ★★ |
给中等生的话：这一章是整张卷子最不该丢分的地方。它不考聪明，考的是「细心 + 符号不搞错」。你只要把本节里那些红色警告全部记住，15 分里能稳稳拿到 13 分以上。别嫌它简单——中考数学拉开差距的，往往就是这几分白送的题被人拿走、你没拿到。
1实数的有关概念
知识点 1.1 有理数和无理数——为什么要这样分类
讲透本源：小学我们只学了正数和 0，上了初中引入了负数，合起来叫有理数。它的本质特征是：都能写成分数 p/q（p、q 是整数，q≠0）的形式。整数 5 = 5/1，有限小数 0.25 = 1/4，无限循环小数 0.333… = 1/3，全都能写成分数。
但有些数怎么都写不成分数——它们的小数位无限多、还不循环，比如 π=3.1415926…、√2=1.41421356…。这类数叫无理数。
所以分类不是看「整不整齐」，而是看「能不能写成分数」。有理数和无理数合起来，就是实数——铺满整个数轴。
想一想：√4 是无理数吗？（不是！√4=2，是整数，是有理数。判断无理数一定要先化简，不能看到根号就慌。）那 22/7 呢？（它是分数，是有理数，虽然它常用来近似 π，但它本身不是无理数。）
采分点提醒：中考选择题爱问「下列哪个是无理数」。记住常见三类无理数：①带 π 的（π、2π、π/2）；②开方开不尽的（√2、√3、√5、∛2，但√4、√9 是有理数）；③有规律但不循环的小数（如 0.1010010001…）。
知识点 1.2 数轴三要素、相反数、绝对值——为什么 |a| 要分正负讨论
讲透本源：数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。每个实数在数轴上都有唯一的一个点和它对应——这就是「数形结合」的地基。
相反数：在数轴上关于原点对称的两个点。a 的相反数是 −a。−3 的相反数是 3，因为它们到原点距离相等、方向相反。
绝对值 |a|：一个数在数轴上到原点的距离。距离永远不能是负数！所以：
· 若 a 是正数（在原点右边），它到原点的距离就是它本身：|a| = a；
· 若 a 是负数（在原点左边），它到原点的距离要把负号去掉：|a| = −a；
· 若 a = 0，|a| = 0。
这就是为什么绝对值必须分情况讨论——本质上是在问「这个点在原点左边还是右边」。
|a| = a（当 a≥0）；|a| = −a（当 a<0）。任何数的绝对值都 ≥ 0。
【例 1.1】−2027 的绝对值、相反数、倒数分别是多少？
逐项来：
· 绝对值 |−2027|：−2027 在原点左边，距离是 2027 → 2027；
· 相反数：变号 → 2027；
· 倒数：颠倒分子分母，符号不变 → −1/2027。
★ 经典错误：把倒数写成 +1/2027。倒数的符号和原数相同！负数的倒数还是负数。
【变式 1.1】若 |x| = 5，求 x。
到原点距离等于 5 的点有两个：左边一个 −5，右边一个 5。x = ±5。
★ 易错：只写 x=5，漏掉 −5。绝对值方程必有两个解（除非 |x|=0）。
【变式 1.2】若 |a| = −a，则 a 是什么数？
|a| 等于它自己的相反数，说明 a 在原点左边或就是 0：a ≤ 0（非正数）。
经验：中考填空常考这句话，看到「|a|=−a」立刻反应「a 是负数或 0」。
知识点 1.3 科学记数法——为什么偏偏规定 1≤|a|<10
讲透本源：山西中考特别爱考这种大数：「2022 年山西外送电量 1464 亿千瓦时」。一长串 0 写着麻烦、还容易数错，所以数学家约定写成 a×10ⁿ 的样子。
为什么要求 1≤|a|<10？因为这是唯一写法。比如 320000，你可以写成 32×10⁴，也可以写成 0.32×10⁶——五花八门就乱了。规定 a 必须是「个位数点几」（3.2），每个大数就只有一种标准写法，大家交流才不混乱。
怎么定 n：看原数整数部分有几位，n = 位数 − 1。320000 是 6 位整数，n = 5，所以是 3.2×10⁵。
若是很小的数（如 0.0003），n 是负整数：3×10⁻⁴（第一个非零数字前面有几个 0，n 就是负几）。
中等生最常踩的两个坑：
① 带「万」「亿」忘了换算！1 万 = 10⁴，1 亿 = 10⁸。比如「539 万」要先想成 5390000，再写 5.39×10⁶。
② n 数错。破法：写完后用手指数一遍原数的位数，确认「位数 − 1」和你写的 n 一致。
【例 1.2】2023 山西中考 第 4 题1464 亿千瓦时用科学记数法表示为（ ）
先把「亿」展开：1464 亿 = 146400000000。
数位数：12 位整数 → n = 11。
把小数点挪到第一个数字 1 后面：1.464，后面跟 11 个 0。
答案：1.464×10¹¹ 千瓦时。
采分点：这题 3 分纯送分，每年都考。山西爱拿「外送电量、粮食产量、造林面积」当背景，数字看着唬人，剥掉外壳就是数位数。
【变式 1.3】2022 山西中考 第 3 题68285 万吨用科学记数法表示为？
68285 万 = 682850000。数位数：9 位整数 → n = 8。
小数点挪到 6 后面：6.8285×10⁸ 吨。答案：6.8285×10⁸。
2实数混合运算（解答第 16(1) 题，5 分）
知识点 2.1 零指数、负指数——为什么 a⁰=1，a⁻ⁿ=1/aⁿ
讲透本源：同底数幂相除是指数相减：aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ。
当 m = n 时，aᵐ÷aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰；而一个数除以它自己等于 1。所以 a⁰ = 1（a≠0）。这不是硬规定，是除法的自然结果。
当 m < n 时，比如 a³÷a⁵ = a³⁻⁵ = a⁻²；而直接算 a³/a⁵ = 1/a²。两边必须相等，所以 a⁻² = 1/a²，即负指数就是「取倒数」。
记住：(1/2)⁻¹ = 2，不是 1/2！负号一出来，先取倒数。
运算优先级：乘方 / 开方 → 乘除 → 加减；有括号先括号。(−1) 的奇次幂 = −1，偶次幂 = 1。
【例 2.1】2024 山西中考 第 16(1) 题计算：(−6)×(1/3) − (1/2)⁻² + [(−3)+(−1)]
规范书写（逐项算，不跳步）：
第一项：(−6)×(1/3) = −2；
第二项：(1/2)⁻² = 2² = 4（负指数先取倒数：(1/2)⁻¹=2，再平方得 4）；
第三项：[(−3)+(−1)] = −4；
合起来：−2 − 4 + (−4) = −2 − 4 − 4 = −10。
★ 经典错误：(1/2)⁻² 算成 1/4。错！负指数是取倒数再乘方：(1/2)⁻² = 2² = 4。这是本章头号丢分点。
【变式 2.1】计算：(−1)²⁰²⁷ + (π−3)⁰ − √16 + 2⁻¹
逐项：(−1)²⁰²⁷ = −1（2027 奇数）；(π−3)⁰ = 1（任何非零数的 0 次方都是 1）；√16 = 4；2⁻¹ = 1/2。
= −1 + 1 − 4 + 1/2 = −7/2（即 −3.5）。
注意：(π−3) 不是 0（π≈3.14，π−3≈0.14），所以它的 0 次方才有意义。题目故意放 (π−3)⁰，就是考你「只要底数不是 0，0 次方就是 1」。
【变式 2.2】计算：−2² + (−3)²
−2² = −(2²) = −4（负号不在括号里，先算平方再加负号）；(−3)² = 9。
= −4 + 9 = 5。
★ 经典错误：把 −2² 算成 4。记住：−2² 和 (−2)² 是两回事！前者是 −4，后者才是 4。看到负号在括号外，先提心吊胆检查一遍。
采分点提醒：中考这道 5 分题是按「每化简对一项」给分的。你哪怕最后加减算错，前面每一项化对了也能拿 3–4 分。所以不要图快跳步，一项一行写清楚。
3整式加减与幂的运算法则
知识点 3.1 同类项——为什么必须字母和指数都相同才能合并
讲透本源：合并同类项就像「数钱」：3 个苹果 + 2 个苹果 = 5 个苹果，但 3 个苹果 + 2 个橘子没法合并成「5 个苹果」。
在 3x² + 5x² 里，两项都是「x²」这种东西，一个有 3 份、一个有 5 份，合起来 8 份 → 8x²。
但 3x² 和 5x 就像「平方」和「一次方」，是不同种类的东西，不能合并。所以同类项的铁律是：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同。系数相加，字母和指数一概不动。
经典错误：把 3x² + 2x 算成 5x³，或者把 3x + 2y 算成 5xy。这都是「苹果加橘子」。记住：合并时字母和指数原样照抄，只动数字系数。
知识点 3.2 幂的四条法则——为什么同底数幂相乘是指数相加
讲透本源（用乘法定义死磕一遍）：
2³ × 2² = (2×2×2) × (2×2)。把括号去掉，一共是几个 2 相乘？3 个 × 2 个 = 5 个，所以 = 2⁵。
看出来了吗？同底数幂相乘，就是把「写了几个底数」加起来，所以指数相加。这不是规定，是乘法本身的意义。
aᵐ ÷ aⁿ 反过来：m 个 a 去掉 n 个，剩 m−n 个，所以指数相减。
(aᵐ)ⁿ 是「m 个 a 为一组，一共 n 组」，总数 m×n 个，所以指数相乘。
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ：每组里 a、b 各出现一次，n 组后 a 和 b 都乘了 n 次。
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（相乘→指数加）
aᵐ÷aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（相除→指数减）
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（乘方→指数乘）
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ（积的乘方=各自乘方再相乘）
想一想：a⁶ ÷ a² 为什么等于 a⁴ 而不是 a³？（因为指数相减 6−2=4。误以为是 6÷2=3 的同学，把「指数运算」和「数字运算」搞混了——指数之间是加减乘除的降级版：乘变加、除变减、乘方变乘。）
【例 3.1】下列计算正确的是（ ）
A. a²·a³ = a⁶ B. (a²)³ = a⁶ C. a⁶÷a² = a³ D. (ab)² = ab²
逐项用法则核对：
A：同底相乘，指数应相加 2+3=5，不是 6。错。
B：幂的乘方，指数相乘 2×3=6。对。
C：同底相除，指数相减 6−2=4，不是 3。错。
D：积的乘方，a、b 都要平方：a²b²，漏了 a 的平方。错。
答案 B。
【变式 3.1】若 xᵐ = 2，求 x³ᵐ 的值。
x³ᵐ = (xᵐ)³（幂的乘方逆用）= 2³ = 8。
经验：中考特别爱考这种「整体代换」——已知低次幂的值，求高次幂。看到 x³ᵐ，立刻想到 (xᵐ)³。
知识点 3.3 乘法公式——用面积图把 (a+b)² 刻进脑子
讲透本源（画个大正方形）：
边长为 (a+b) 的大正方形，面积就是 (a+b)²。把它按边长切成四块：一个边长 a 的小正方形（面积 a²）、一个边长 b 的小正方形（面积 b²）、还有两个长 a 宽 b 的长方形（每个面积 ab，两个就是 2ab）。
所以 (a+b)² = a² + 2ab + b²。那两个长方形就是「2ab」的来历——它不是凭空冒出来的，是大正方形里实实在在的两块。
平方差 (a+b)(a−b) = a²−b² 也一样：边长 a 的正方形挖掉边长 b 的小正方形，剩下的部分正好能拼成长 (a+b)、宽 (a−b) 的长方形。
平方差：(a+b)(a−b) = a² − b²
完全平方：(a+b)² = a² + 2ab + b²；(a−b)² = a² − 2ab + b²
阅卷统计头号错误：(a+b)² = a² + b²。错！中间漏了 2ab。你只要在脑子里画一下那个大正方形——怎么可能少了那两个长方形？记住：「首平方、尾平方、首尾两倍在中央」。
【例 3.2】用乘法公式简便计算：102 × 98
观察：102 = 100+2，98 = 100−2，正好凑成 (a+b)(a−b)：
= (100+2)(100−2) = 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996。
经验：看到两个数一头一尾接近某个整百数，立刻想平方差。99×101 同理 = (100−1)(100+1) = 9999。
【变式 3.2】已知 a+b = 5，ab = 6，求 a² + b²。
不用求出 a、b！整体代换：
a² + b² = (a+b)² − 2ab = 25 − 12 = 13。
采分点：这种「和、积求平方和」是中考高频变形，背住这个恒等式，3 秒出答案。
4因式分解
知识点 4.1 为什么因式分解和整式乘法是逆运算
讲透本源：整式乘法是把「积」拆开变「和」：(x+2)(x−2) = x²−4。因式分解正好反过来，把「和」拆成「积」：x²−4 = (x+2)(x−2)。
方向相反，但用的公式是同一组——平方差、完全平方公式，从右往左用就是因式分解。
为什么要费劲把多项式拆成乘积？因为解方程时，乘积等于 0 只要有一个因子是 0 就行（x(x−3)=0 ⇒ x=0 或 x=3），比硬凑方便得多。这就是第 3 章解一元二次方程的工具。
步骤口诀：一提（公因式）→ 二套（公式）→ 三检查（是不是分到不能再分）。
【例 4.1】分解因式：x³ − 4x
第一步「提」：两项都有公因式 x，先提出来：x(x² − 4)。
第二步「套」：括号里 x²−4 是平方差，继续套公式：= x(x+2)(x−2)。
第三步「检查」：每个括号都是一次式，不能再分了。答案：x(x+2)(x−2)。
★ 经典错误：只写到 x(x²−4) 就交卷，被扣 1 分。分解不彻底是中考因式分解最常见的扣分点。
【变式 4.1】分解因式：x² + 6x + 9
9 是 3²，中间 6x = 2·x·3，正好是完全平方：(x+3)²。
【变式 4.2·逆向】若 x² + mx + 9 是完全平方式，求 m。
9 = (±3)²，中间项 = ±2·x·3 = ±6x，所以 m = ±6。
★ 易错：只写 m=6，漏掉 m=−6。完全平方有「+2ab」和「−2ab」两种。
5分式与化简求值（解答固定题，6–8 分）
知识点 5.1 分式有意义的条件——为什么分母不能为 0
讲透本源：分式就像除法 a/b，意思是「把 a 平均分成 b 份」。如果 b=0，就是「分成 0 份」——这件事在数学上没有意义。所以分式有意义的唯一条件：分母 ≠ 0。
中考特别爱考：当 x 取何值时，分式 1/(x−2) 有意义？答案是 x≠2（让分母为 0 的那个值，就是禁区）。
代值求值时的铁律：题目让你选一个喜欢的数代入，绝对不能选让任何分母等于 0 的数！比如原式里出现了 (x−1) 和 (x+1)，你就不能代 x=1 或 x=−1——哪怕化简后的式子看起来「随便代都行」，也不行。这是阅卷老师最爱抓的扣分点。
【例 5.1】2024 山西中考 第 16(2) 题化简：(1/(x−1) + 1/(x+1)) ÷ (x+2)/(x²−1)
规范步骤：
① 括号里通分：公分母是 (x−1)(x+1) = x²−1。
1/(x−1) = (x+1)/(x²−1)；1/(x+1) = (x−1)/(x²−1)。
相加：[(x+1)+(x−1)]/(x²−1) = 2x/(x²−1)。
② 除法变乘法（除以一个分式 = 乘以它的倒数）：
= 2x/(x²−1) × (x²−1)/(x+2)。
③ 约掉公因式 (x²−1)：= 2x/(x+2)。
采分点：通分 2 分、除法变乘 1 分、约分 2 分、最终结果 1 分。每步都要写，跳步会扣过程分。
【变式 5.1】先化简，再求值：(1 + 1/(x−1))·(x²−1)，其中 x = 2。
先化简：括号里通分 1 = (x−1)/(x−1)，所以 1+1/(x−1) = x/(x−1)。
乘 (x²−1) = (x−1)(x+1)：x/(x−1) · (x−1)(x+1) = x(x+1)。
再代值：x=2 时，= 2×3 = 6。
为什么先化简再代值？如果直接把 x=2 塞进原式，会算一堆分数；化简成 x(x+1) 后，一秒出答案，还不容易错。
知识点 5.2 二次根式——√a 为什么要求 a≥0
讲透本源：√a 是在问「哪个数平方等于 a」。但任何实数平方都是 ≥0 的（正数平方正、负数平方也正、0 是 0），所以不存在一个实数平方等于负数。这就要求被开方数 a ≥ 0。
化简目标：把开得尽方的因数搬出来。√18 = √(9×2) = √9 × √2 = 3√2。合并同类二次根式，必须先化成「被开方数相同」——√8 = 2√2，和 √2 才是同类，可以合并。
√(ab) = √a·√b（a≥0，b≥0）。化简口诀：一化（拆因数）、二找（找平方因子）、三合并。
【例 5.2】计算：√8 + √18 − √2
先全部化最简：√8 = 2√2，√18 = 3√2。
= 2√2 + 3√2 − √2 = (2+3−1)√2 = 4√2。
★ 易错：不化简直接把 √8+√18 当成 √26。错！二次根式加减只能合并「被开方数相同」的，必须先化简。
【变式 5.2】估计 √10 在哪两个连续整数之间。
找附近能开方的数：9 = 3²，16 = 4²。因为 9 < 10 < 16，所以 3 < √10 < 4。√10 在 3 和 4 之间。
经验：「估值」是山西中考填空常客，背住常用平方数：11²=121、12²=144、13²=169、14²=196。
技做题技巧专题（考试时怎么抢分）
技巧 ①：实数混合运算——逐项打勾法
中考这道题固定凑 5 项：乘方、绝对值、零指数、负指数、开方。在草稿纸上把每一项单独算出来写一行，算对一项就打一个勾，最后再合并。不要在脑子里连算三行——符号就是这么错的。
技巧 ②：科学记数法——先画「万/亿」
看到「×× 万」「×× 亿」，先在题目上写箭头：万 = 加 4 个 0，亿 = 加 8 个 0。把数字补全后再数位数定 n。这一步只要 5 秒，能躲开本章最高频的坑。
技巧 ③：幂的法则判断题——30 秒逐个验
选择题给四个式子让你挑对的，不要猜。把「相乘→加、相除→减、乘方→乘」在每个选项上默念一遍，哪个对就是哪个。出题人挖坑套路就两种：把「加」换成「乘」、把「乘」换成「加」。
技巧 ④：分式化简——先看定义域
动笔化简前，先扫一眼原式里所有分母，把「禁区值」（让分母为 0 的 x）圈在题目旁边。最后选代入值时，专门避开它们。这一步 3 秒，避免整道题白做。
技巧 ⑤：检查符号——三个高危动作
- 看到 −2²，停一下：是 −4 还是 4？（负号在括号外 = −4）
- 看到 (1/2)⁻²，停一下：是 4 还是 1/4？（负指数先取倒数 = 4）
- 看到去括号前面有负号，停一下：括号里每一项都要变号。
经验级总结（带过学生的真话）：这章丢分最多的从来不是难题，是三件事：①把 −2² 算成 4；②负指数取反；③分式代值时代了个让分母为 0 的数。考试前把这三句念一遍，白捡 3–4 分。还有，山西这章爱拿「外送电量、粮食产量、造林面积、青铜文物」当背景，题干越长越别怕——剥掉外壳就是数位数和算混合运算。
真山西中考真题精讲（近 5 年精选）
2023 山西中考 第 4 题科学记数法（3 分）
题目：山西 2022 年外送电量 1464 亿千瓦时，用科学记数法表示为（ ）。
答案：1.464×10¹¹ 千瓦时。
陷阱分析：出题人故意在选项里放 1.464×10⁹（忘了「亿」是 8 个 0）和 14.64×10¹⁰（a 没写成个位数）。记住两步：先补 0，再挪小数点。
2022 山西中考 第 3 题科学记数法（3 分）
题目：2021 年粮食总产量 68285 万吨，用科学记数法表示为（ ）。
答案：6.8285×10⁸ 吨。（68285 万 = 682850000，9 位 → n=8）
★ 陷阱：B 选项是 68285×10⁴——形式上 a=68285 不满足 1≤a<10，是错的。科学记数法 a 必须是个位数点几。
2024 山西中考 第 16(1) 题实数混合运算（5 分）
题目：(−6)×(1/3) − (1/2)⁻² + [(−3)+(−1)]。
答案：−10（过程见例 2.1）。
评分点：每正确化简一项给分。第二项 (1/2)⁻²=4 是关键区分点——写成 1/4 的人这一项没分。
2024 山西中考 第 16(2) 题分式化简（6 分）
题目：(1/(x−1) + 1/(x+1)) ÷ (x+2)/(x²−1)。
答案：2x/(x+2)（过程见例 5.1）。
★ 陷阱：除法不变乘、约分时漏掉 x²−1。记住「除以一个分式，把它倒过来再乘」。
模拟无理数判断（选择改编）
题目：下列各数中是无理数的是（ ）。A. √4 B. 3.14 C. √3 D. 22/7
解析：A √4=2 是有理数；B 有限小数是有理数；D 分数是有理数；C √3 开方开不尽，是无限不循环小数。答案 C。
★ 陷阱：B 选项 3.14 不是 π，是个有限小数，别被「像 π」骗了。
练分层练习（盖住答案先做）
基础必须全对（6 题）
1. −5 的相反数是 ______，倒数是 ______，|−5| = ______。
2. 用科学记数法表示：405000 = ________；0.000203 = ________。
3. 计算：(−1)²⁰²⁴ + (1/3)⁻¹ − |−2| + √4。
4. 下列计算正确的是（ ）。A. a²·a³=a⁶ B. (a²)³=a⁶ C. a⁶÷a²=a³ D. (ab)²=ab²
5. 分解因式：2x² − 8 = ________。
6. 当 x = ______ 时，分式 1/(x−3) 无意义。
提高中档题主战场（4 题）
7. 计算：−2² + (−3)² − (π−3)⁰ + |−5|。
8. 化简并求值：(1 + 1/(x−1))·(x²−1)，其中 x = 2。
9. 已知 a+b = 4，ab = 3，求 a² + b² 的值。
10. 计算：√12 + √27 − √3。
冲刺冲高分（2 题）
11. 先化简，再求值：(1/(x−1) + 1/(x+1)) ÷ (x+2)/(x²−1)，其中 x = 0。
12. 已知 x + 1/x = 3，求 x² + 1/x² 的值。（提示：两边平方）
答练习答案与详解
1. 相反数 5，倒数 −1/5，|−5| = 5。倒数符号和原数相同，别写成 +1/5。
2. 4.05×10⁵；2.03×10⁻⁴。第一空 6 位整数 n=5；第二空小数点后第一个非零数字 2 前面有 4 个 0，n=−4。
3. 4。(−1)²⁰²⁴=1；(1/3)⁻¹=3；|−2|=2；√4=2。1+3−2+2=4。
4. B。A 应为 a⁵（指数相加）；B (a²)³=a⁶ 正确；C 应为 a⁴（指数相减）；D 应为 a²b²。
5. 2(x+2)(x−2)。先提公因式 2：2(x²−4)，再套平方差。别只写到 2(x²−4)。
6. x = 3。分母 x−3=0 时无意义。
7. 9。−2²=−4（不是 4！负号在括号外）；(−3)²=9；(π−3)⁰=1；|−5|=5。−4+9−1+5=9。
8. 6。化简：x/(x−1)·(x−1)(x+1)=x(x+1)；x=2 时 2×3=6。
9. 10。a²+b²=(a+b)²−2ab=16−6=10。
10. 4√3。√12=2√3，√27=3√3，2√3+3√3−√3=4√3。
11. 0。化简过程见例 5.1，结果为 2x/(x+2)。代 x=0：0/2=0。注意 x=0 没让任何分母为 0，合法。
12. 7。把 x+1/x=3 两边平方：(x+1/x)²=x²+2+1/x²=9，所以 x²+1/x²=9−2=7。这是「整体代换」经典题。
结本章总结 + 自检问题清单
全章要点（背下来）：
① 无理数 = 无限不循环小数（π、开方开不尽的）；判断前先化简；
② |a| 是到原点的距离，必 ≥0；正数取本身、负数取相反数；
③ 科学记数法 a×10ⁿ，1≤|a|<10；n=位数−1；万补 4 个 0、亿补 8 个 0；
④ 同底幂相乘指数加、相除指数减、乘方指数乘；负指数取倒数、零指数等于 1；
⑤ (a+b)²=a²+2ab+b²，中间那项 2ab 最容易漏；
⑥ 因式分解「一提二套三检查」，必须分到不能再分；
⑦ 分式分母不能为 0；先化简再代值，代值避开禁区；
⑧ 二次根式先化最简再合并，被开方数必须 ≥0。
合上书写一遍——能答上才算真会
- 有理数和无理数的本质区别是什么？√4 是无理数吗？
- 为什么 |a| 要分 a≥0 和 a<0 两种情况？
- 科学记数法为什么规定 1≤|a|<10？
- 用 2³×2² 举例子，说明为什么同底数幂相乘是指数相加。
- 为什么 (a+b)² = a²+2ab+b²？用大正方形面积解释。
- 因式分解和整式乘法是什么关系？为什么解方程要先因式分解？
- 分式什么时候无意义？代值求值时哪类数不能代？
- −2² 和 (−2)² 分别等于多少？
- (1/2)⁻² 等于多少？为什么？
- 山西中考这一章最爱用什么当题干外壳？